Calcule integral duplaR f(x, y) d A para
f(x, y)=100-6 x^2 y e R: 0 <= x <= 2, -1 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla! O enunciado pede para calcular onde e a região é definida por e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Ela basicamente calcula o volume sob a superfície sobre a região . Como é um retângulo no plano , podemos separar a integral em duas partes: uma em relação a e outra em relação a .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Como os limites de integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 integral-1^1 (100 - 6x^2y) , dy , dx vão de 0 a 2 e os de vão de -1 a 1, podemos escrever:
Aqui, primeiro integramos em relação a , mantendo constante, e depois integramos o resultado em relação a .

Passo 4

Vamos integrar a função integral-1^1 (100 - 6x^2y) , dy = integral-1^1 100 , dy - 6x^2 integral-1^1 y , dy em relação a :
A integral de uma soma é a soma das integrais, e podemos separar os termos para facilitar.

Passo 5

Calculando cada parte:
integral-1^1 100 , dy = 100y g|-1^1 = 100(1) - 100(-1) = 100 + 100 = 200
E
integral-1^1 y , dy = y^22 g|-1^1 = 1^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0
Portanto, a segunda parte desaparece porque a integral de de -1 a 1 é zero.

Passo 6

Agora, substituímos os resultados na integral original:
integral0^2 (200 - 6x^2 cdot 0 ) , dx = integral0^2 200 , dx
Simplificando, temos uma integral constante.

Passo 7

Integrando 200 em relação a integral0^2 200 , dx = 200x g|0^2 = 200(2) - 200(0) = 400 - 0 = 400 :
Então, o valor da integral dupla é 400.

Resposta

A integral dupla é igual a 400.

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