Com relação à função
do exercício 1, verifique que as funções
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função
, isto é
se, e somente se
. Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial
. O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções
tem a convergência garantida para o método?
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é verificar se algumas funções
satisfazem uma condição especial chamada ponto fixo para encontrar raízes da função
. Basicamente, isso significa que se a gente achar um número
onde
, então
também deve ser igual a
. Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas com uma condição inicial de
e fazer 4 iterações para cada função. Depois, vamos ver qual dessas funções garante que o método vai funcionar direitinho usando um critério de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o Método de Aproximações Sucessivas. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função
, ou seja, valores de
onde
. A ideia é transformar a equação
em uma forma
e então começar com um palpite inicial (no caso,
) e usar a função
para gerar uma sequência de aproximações que deve, idealmente, se aproximar da raiz real.
Agora, vamos aplicar isso para cada uma das funções
dadas.
Passo 3
Função (a)
Vamos fazer as iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
Como você pode ver, os valores estão mudando bastante e não estão se aproximando de um número específico. Isso indica que esse método pode não estar convergindo.
Passo 4
Função (b)
Vamos verificar as iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
. Aqui temos um problema: não dá para tirar raiz de número negativo, então a iteração para por aqui.
Isso mostra que a função
não está funcionando bem com esse método.
Passo 5
Função (d)
Vamos às iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
Vimos que o valor está se estabilizando em torno de 1.366, o que é um bom sinal de que está convergindo.
Passo 6
Função (e)
Vamos fazer as iterações:
-
Iteração 1: Vamos calcular
: Primeiro, calcule o numerador:E o denominador:Então, -
Iteração 2:Numerador:Denominador:Então,
-
Iteração 3:Numerador:Denominador:Então,
-
Iteração 4:Numerador:Denominador:Então,
Vemos que os valores estão se estabilizando bem rápido, apontando para uma convergência.
Passo 7
Agora, usando o critério de análise de convergência, que basicamente verifica se a derivada da função
em torno da raiz está entre -1 e 1, garantindo que as iterações vão se aproximar da raiz.
Para a função
:
Vamos derivar:
Avaliação em
:
Como
, a função
satisfaz o critério de convergência.
Para
, similarmente a derivada também está dentro do intervalo, garantindo a convergência.
Resposta
A função
e
apresentam convergência garantida para o método de aproximações sucessivas.