Com relação à função f do exercício 1, verifique que as funções
(a) phi1(x) = x - x^3 - 4*x^2 + 10
(d) phi_4(x) = (10 / (4 + x))^(1/2)
(b) phi_2(x) = (10/x - 4x)^(1/2)
(e) phi_5(x) = x - (x^3 + 4*x^2 - 10) / (3*x^2 + 8*x)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função f, isto é f(x) = 0 se, e somente se phi_i(bar(x)) = bar(x). Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial x_0 = 1.5. O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções phi_i tem a convergência garantida para o método?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é verificar se algumas funções satisfazem uma condição especial chamada ponto fixo para encontrar raízes da função f. Basicamente, isso significa que se a gente achar um número onde , então também deve ser igual a . Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas com uma condição inicial de e fazer 4 iterações para cada função. Depois, vamos ver qual dessas funções garante que o método vai funcionar direitinho usando um critério de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o Método de Aproximações Sucessivas. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função f(x), ou seja, valores de x onde . A ideia é transformar a equação em uma forma e então começar com um palpite inicial (no caso, ) e usar a função phi para gerar uma sequência de aproximações que deve, idealmente, se aproximar da raiz real.
Agora, vamos aplicar isso para cada uma das funções dadas.

Passo 3

Função (a)
Vamos fazer as iterações:
  • Iteração 1:
  • Iteração 2:
  • Iteração 3:
  • Iteração 4:
Como você pode ver, os valores estão mudando bastante e não estão se aproximando de um número específico. Isso indica que esse método pode não estar convergindo.

Passo 4

Função (b)
Vamos verificar as iterações:
  • Iteração 1:
  • Iteração 2:
  • Iteração 3: . Aqui temos um problema: não dá para tirar raiz de número negativo, então a iteração para por aqui.
Isso mostra que a função não está funcionando bem com esse método.

Passo 5

Função (d)
Vamos às iterações:
  • Iteração 1:
  • Iteração 2:
  • Iteração 3:
  • Iteração 4:
Vimos que o valor está se estabilizando em torno de 1.366, o que é um bom sinal de que está convergindo.

Passo 6

Função (e)
Vamos fazer as iterações:
  • Iteração 1: Vamos calcular :
    Primeiro, calcule o numerador:
    E o denominador:
    Então,
  • Iteração 2:
    Numerador:
    Denominador:
    Então,
  • Iteração 3:
    Numerador:
    Denominador:
    Então,
  • Iteração 4:
    Numerador:
    Denominador:
    Então,
Vemos que os valores estão se estabilizando bem rápido, apontando para uma convergência.

Passo 7

Agora, usando o critério de análise de convergência, que basicamente verifica se a derivada da função em torno da raiz está entre -1 e 1, garantindo que as iterações vão se aproximar da raiz.
Para a função :
Vamos derivar:
Avaliação em :
Como , a função satisfaz o critério de convergência.
Para , similarmente a derivada também está dentro do intervalo, garantindo a convergência.

Resposta

A função e phi_5(x) = x - (x^3 + 4*x^2 - 10) / (3*x^2 + 8*x) apresentam convergência garantida para o método de aproximações sucessivas.

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