Com relação à função
do exercício 1, verifique que as funções
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função
, isto é
se, e somente se
. Usando-as como Método de Aproximações Sucessivas, faça 4 iterações de cada uma delas, com a condição inicial
. O que você observou? Usando agora o critério de análise de convergência, qual das funções
tem a convergência garantida para o método?
(a)
(d)
(b)
(e)
satisfazem a condição do ponto fixo para a raiz da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é verificar se algumas funções
satisfazem uma condição especial chamada ponto fixo para encontrar raízes da função
. Basicamente, isso significa que se a gente achar um número
onde
, então
também deve ser igual a
. Vamos usar o Método de Aproximações Sucessivas com uma condição inicial de
e fazer 4 iterações para cada função. Depois, vamos ver qual dessas funções garante que o método vai funcionar direitinho usando um critério de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o Método de Aproximações Sucessivas. Esse método é usado para encontrar raízes de uma função
, ou seja, valores de
onde
. A ideia é transformar a equação
em uma forma
e então começar com um palpite inicial (no caso,
) e usar a função
para gerar uma sequência de aproximações que deve, idealmente, se aproximar da raiz real.
Agora, vamos aplicar isso para cada uma das funções
dadas.
Passo 3
Função (a)
Vamos fazer as iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
Como você pode ver, os valores estão mudando bastante e não estão se aproximando de um número específico. Isso indica que esse método pode não estar convergindo.
Passo 4
Função (b)
Vamos verificar as iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
. Aqui temos um problema: não dá para tirar raiz de número negativo, então a iteração para por aqui.
Isso mostra que a função
não está funcionando bem com esse método.
Passo 5
Função (d)
Vamos às iterações:
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
Vimos que o valor está se estabilizando em torno de 1.366, o que é um bom sinal de que está convergindo.
Passo 6
Função (e)
Vamos fazer as iterações:
-
Iteração 1: Vamos calcular
: Primeiro, calcule o numerador:E o denominador:Então, -
Iteração 2:Numerador:Denominador:Então,
-
Iteração 3:Numerador:Denominador:Então,
-
Iteração 4:Numerador:Denominador:Então,
Vemos que os valores estão se estabilizando bem rápido, apontando para uma convergência.
Passo 7
Agora, usando o critério de análise de convergência, que basicamente verifica se a derivada da função
em torno da raiz está entre -1 e 1, garantindo que as iterações vão se aproximar da raiz.
Para a função
:
Vamos derivar:
Avaliação em
:
Como
, a função
satisfaz o critério de convergência.
Para
, similarmente a derivada também está dentro do intervalo, garantindo a convergência.
Resposta
A função
e
apresentam convergência garantida para o método de aproximações sucessivas.
Exercícios relacionados
Mostre que a função
tem um único ponto fixo em
. Use o MAS para encontrá-lo com um erro
.
Seja
. Localize graficamente uma vizinhança para as raízes de
.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de , determine a raiz positiva aproximada, pelo Método das Aproximações Sucessivas (ponto fixo), isto é, encontre uma função
tal que
na qual o processo iterativo
convirja. A condição inicial é de sua escolha.
(a) Resolva pelo método da bisseção com 6 iterações.
(b) Com erro da ordem de
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de
; a outra estava a
da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de
.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A)
B)
C)
D)
E)
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de
a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114
(a altura é indicada na figura como o segmento
). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de
e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que .
b) entre e
c) entre e
d) entre e
e) maior que .
a) menor que
b) entre
c) entre
d) entre
e) maior que