Mostre que a função
tem um único ponto fixo em
. Use o MAS para encontrá-lo com um erro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
tem um único ponto fixo no intervalo
e, depois, encontrar esse ponto usando o Método da Aproximação Sequencial (MAS) com um erro menor ou igual a
.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Ponto Fixo: Um ponto
tal que . - Método da Aproximação Sequencial (MAS): Um método iterativo para encontrar pontos fixos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, verificar a unicidade usando propriedades da função e depois aplicar o MAS para encontrar o valor numérico do ponto fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função
é um valor
que, quando aplicado na função, retorna ele mesmo. Matematicamente, isso significa:
Então, nosso objetivo é encontrar
no intervalo
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos definir a equação do ponto fixo:
Rearranjando, temos:
Para mostrar que existe um único ponto fixo, podemos observar o comportamento das funções envolvidas.
Passo 4
Vamos analisar as funções:
-
Função
: Esta função é contínua no intervalo porque o seno é contínuo. -
Função identidade
: Também é contínua.
Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se
for uma contração em um intervalo fechado e limitado, então ela tem exatamente um ponto fixo nesse intervalo.
Passo 5
Para verificar se
é uma contração, precisamos mostrar que existe uma constante
com
tal que para todo
e
no intervalo,
Calculando a derivada de
:
O valor absoluto da derivada é:
Como
, a função
é uma contração no intervalo
.
Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe exatamente um ponto fixo em
.
Passo 6
Agora que sabemos que existe um único ponto fixo, vamos usar o Método da Aproximação Sequencial (MAS) para encontrá-lo.
Passos do MAS:
- Escolher uma aproximação inicial
. - Iterar usando
até que .
Vamos escolher
(um valor dentro do intervalo
).
Passo 7
Vamos realizar as iterações:
-
Iteração 1:
-
Iteração 2:
-
Iteração 3:
Como a diferença entre
e
é menor ou igual a
, podemos parar as iterações.
Resposta
O ponto fixo é aproximadamente
.