Mostre que a função f(x) = pi - 0.5 * sen(x / 2) tem um único ponto fixo em [0, 2 pi]. Use o MAS para encontrá-lo com um erro ε <= 10^(-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função tem um único ponto fixo no intervalo e, depois, encontrar esse ponto usando o Método da Aproximação Sequencial (MAS) com um erro menor ou igual a .
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Ponto Fixo: Um ponto tal que .
  • Método da Aproximação Sequencial (MAS): Um método iterativo para encontrar pontos fixos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ponto fixo, verificar a unicidade usando propriedades da função e depois aplicar o MAS para encontrar o valor numérico do ponto fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto fixo. Um ponto fixo de uma função é um valor que, quando aplicado na função, retorna ele mesmo. Matematicamente, isso significa:
Então, nosso objetivo é encontrar no intervalo que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos definir a equação do ponto fixo:
Rearranjando, temos:
Para mostrar que existe um único ponto fixo, podemos observar o comportamento das funções envolvidas.

Passo 4

Vamos analisar as funções:
  1. Função : Esta função é contínua no intervalo porque o seno é contínuo.
  2. Função identidade : Também é contínua.
Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, se for uma contração em um intervalo fechado e limitado, então ela tem exatamente um ponto fixo nesse intervalo.

Passo 5

Para verificar se é uma contração, precisamos mostrar que existe uma constante com tal que para todo e no intervalo,
Calculando a derivada de :
O valor absoluto da derivada é:
Como , a função é uma contração no intervalo .
Portanto, pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe exatamente um ponto fixo em .

Passo 6

Agora que sabemos que existe um único ponto fixo, vamos usar o Método da Aproximação Sequencial (MAS) para encontrá-lo.
Passos do MAS:
  1. Escolher uma aproximação inicial .
  2. Iterar usando até que .
Vamos escolher (um valor dentro do intervalo ).

Passo 7

Vamos realizar as iterações:
  1. Iteração 1:
  2. Iteração 2:
  3. Iteração 3:
Como a diferença entre e é menor ou igual a , podemos parar as iterações.

Resposta

O ponto fixo é aproximadamente .

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