Um balão de borracha de raio está carregado com carga uniforme de intensidade . Calcule o valor da energia potencial eletrostática contida no campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um balão de borracha com raio e carga total distribuída de forma uniforme. O que precisamos calcular é a energia potencial eletrostática armazenada no campo elétrico desse balão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia elétrica e campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A fórmula geral para a energia potencial eletrostática é:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é o campo elétrico, e é um elemento de volume.

Passo 3

O próximo passo é determinar o campo elétrico gerado por uma esfera carregada uniformemente. Para uma esfera com carga total e raio , o campo elétrico fora da esfera ( ) é dado por:
E dentro da esfera ( ), o campo elétrico é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico dentro da esfera. Usamos a primeira parte da fórmula da energia:
Simplificando os termos, temos:
Integrando de 0 a , obtemos , então:

Passo 5

Agora, calculamos a energia armazenada fora da esfera:
Simplificando:
A integração de de a resulta em , então:

Resposta

Somando as energias dentro e fora da esfera, temos:
Portanto, a energia potencial eletrostática contida no campo elétrico é:

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