Um balão de borracha de raio R está carregado com carga uniforme de intensidade Q. Calcule o valor da energia potencial eletrostática contida no campo elétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um balão de borracha com raio R e carga total Q distribuída de forma uniforme. O que precisamos calcular é a energia potencial eletrostática armazenada no campo elétrico desse balão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia elétrica e campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A fórmula geral para a energia potencial eletrostática U é:
U = epsilon02 integral E^2 , dV
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo, E é o campo elétrico, e dV é um elemento de volume.

Passo 3

O próximo passo é determinar o campo elétrico E gerado por uma esfera carregada uniformemente. Para uma esfera com carga total Q e raio R, o campo elétrico fora da esfera ( r >= R) é dado por:
E = 14piepsilon0 Qr^2
E dentro da esfera ( r < R), o campo elétrico é:
E = 14piepsilon0 Q rR^3

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico dentro da esfera. Usamos a primeira parte da fórmula da energia:
Udentro = epsilon02 integral0^R (14piepsilon0 Q rR^3)^2 4pi r^2 , dr
Simplificando os termos, temos:
Udentro = Q^232pi^2epsilon0 R^6 cdot 4pi integral0^R r^4 , dr
Integrando r^4 de 0 a R, obtemos R^55, então:
Udentro = Q^28piepsilon0 R cdot 15 = Q^240piepsilon0 R

Passo 5

Agora, calculamos a energia armazenada fora da esfera:
Ufora = epsilon02 integralR^infty (14piepsilon0 Qr^2)^2 4pi r^2 , dr
Simplificando:
Ufora = Q^232pi^2epsilon0 cdot 4pi integralR^infty 1r^2 , dr
A integração de 1r^2 de R a infty resulta em 1R, então:
Ufora = Q^28piepsilon0 R cdot 1R = Q^28piepsilon0 R

Resposta

Somando as energias dentro e fora da esfera, temos:
U = Udentro + Ufora = Q^240piepsilon0 R + Q^28piepsilon0 R = 3Q^220piepsilon0 R
Portanto, a energia potencial eletrostática contida no campo elétrico é:
U = 3Q^220piepsilon0 R

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