Um balão de borracha de raio
está carregado com carga uniforme de intensidade
. Calcule o valor da energia potencial eletrostática contida no campo elétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um balão de borracha com raio
e carga total
distribuída de forma uniforme. O que precisamos calcular é a energia potencial eletrostática armazenada no campo elétrico desse balão. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia elétrica e campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber como calcular a energia armazenada em um campo elétrico. A fórmula geral para a energia potencial eletrostática
é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é o campo elétrico, e
é um elemento de volume.
Passo 3
O próximo passo é determinar o campo elétrico
gerado por uma esfera carregada uniformemente. Para uma esfera com carga total
e raio
, o campo elétrico fora da esfera (
) é dado por:
E dentro da esfera (
), o campo elétrico é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico dentro da esfera. Usamos a primeira parte da fórmula da energia:
Simplificando os termos, temos:
Integrando
de 0 a
, obtemos
, então:
Passo 5
Agora, calculamos a energia armazenada fora da esfera:
Simplificando:
A integração de
de
a
resulta em
, então:
Resposta
Somando as energias dentro e fora da esfera, temos:
Portanto, a energia potencial eletrostática contida no campo elétrico é: