Verificar se a integral de linha do campo vetorial de forças F=x y i+x^22 j é independente do caminho, assumindo as seguintes trajetórias: (a) de (0,0) até (1,0) e depois até (1,2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral de linha do campo vetorial de forças é independente do caminho para a trajetória que vai de até e depois até . Para isso, vamos precisar entender se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial que gera esse campo. Vamos analisar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo rot , F = partial Fjpartial x - partial Fipartial y é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se o seu rotacional for igual a zero. O rotacional de é dado por:
Onde e são as componentes de . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Fjpartial x = partialpartial x ( x^22 ) = x
partial Fipartial y = partialpartial y (x y) = x
Agora, calculamos o rotacional:
rot , F = x - x = 0

Passo 4

Como o rotacional de �� zero, isso significa que o campo é conservativo. Portanto, a integral de linha de é independente do caminho escolhido entre dois pontos. Isso quer dizer que não importa qual trajeto você escolha para ir de a e depois até , a integral será a mesma.

Resposta

A integral de linha do campo vetorial é independente do caminho para a trajetória especificada.

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