O movimento de um oscilador sub-amortecimento é descrito pela equação
, na qual
e fizemos a fase
para simplificar.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração em
.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um oscilador sub-amortecido, descrito pela equação
, onde
e a fase
. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A equação é:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções:
e
.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar
:
Novamente, usamos a regra do produto. A derivada de
é
, e derivamos a outra parte:
Então, a aceleração
é:
Simplificando os sinais:
Continuando a simplificação:
Passo 4
Agora, queremos a aceleração no instante
. Vamos substituir
na expressão de
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A aceleração no instante
é
.