O movimento de um oscilador sub-amortecimento é descrito pela equação x(t)= A e^-gamma t / 2 cos (omega t), na qual A>0 e fizemos a fase phi=0 para simplificar.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração em t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um oscilador sub-amortecido, descrito pela equação , onde e a fase . O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A equação é:
x(t) = A e^-gamma t / 2 cos(omega t)
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: ddt e^-gamma t / 2 = -gamma2 e^-gamma t / 2 e ddt cos(omega t) = -omega sin(omega t) .
A derivada de v(t) = dxdt = A ( -gamma2 e^-gamma t / 2 cos(omega t) - omega e^-gamma t / 2 sin(omega t) ) em relação a v(t) = -A e^-gamma t / 2 ( gamma2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) é:
E a derivada de em relação a é:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar v(t) = -A e^-gamma t / 2 ( gamma2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) :
ddt ( gamma2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) = -gamma2 omega sin(omega t) + omega^2 cos(omega t)
Novamente, usamos a regra do produto. A derivada de a(t) = dvdt = -A ( -gamma2 e^-gamma t / 2 ( gamma2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) + e^-gamma t / 2 ( -gamma2 omega sin(omega t) + omega^2 cos(omega t) ) ) é a(t) = A e^-gamma t / 2 ( gamma2 ( gamma2 cos(omega t) + omega sin(omega t) ) - gamma2 omega sin(omega t) + omega^2 cos(omega t) ) , e derivamos a outra parte:
a(t) = A e^-gamma t / 2 ( ( gamma^24 + omega^2 ) cos(omega t) )
Então, a aceleração é:
Simplificando os sinais:
Continuando a simplificação:

Passo 4

Agora, queremos a aceleração no instante a(0) = A e^-gamma cdot 0 / 2 ( ( gamma^24 + omega^2 ) cos(0) ) . Vamos substituir a(0) = A ( gamma^24 + omega^2 ) na expressão de :
Sabemos que e , então:

Resposta

A aceleração no instante é .

Exercícios relacionados