O movimento de um oscilador sub-amortecimento é descrito pela equação , na qual e fizemos a fase para simplificar.
(d) Obtenha uma expressão para a aceleração em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um oscilador sub-amortecido, descrito pela equação , onde e a fase . O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A equação é:
Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções: e .
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar :
Novamente, usamos a regra do produto. A derivada de é , e derivamos a outra parte:
Então, a aceleração é:
Simplificando os sinais:
Continuando a simplificação:

Passo 4

Agora, queremos a aceleração no instante . Vamos substituir na expressão de :
Sabemos que e , então:

Resposta

A aceleração no instante é .

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