Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 10 centímetros.
Passo 1
Então, galera, temos aqui um balão esférico que está sendo inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio medir 10 centímetros. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume
de uma esfera com raio
é dado por:
Passo 3
Queremos relacionar a taxa de variação do volume (
) com a taxa de variação do raio (
). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Passo 4
Ao derivar, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
. Podemos reorganizar a equação acima para isolar
:
Passo 6
Sabemos que
cm³/min e que
cm. Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
Quando o raio do balão mede 10 centímetros, o raio está crescendo a uma taxa de
centímetros por minuto, aproximadamente 0,6366 cm/min.