Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 10 centímetros.

Passo 1

Então, galera, temos aqui um balão esférico que está sendo inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido o raio do balão está crescendo quando o raio medir 10 centímetros. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume de uma esfera com raio é dado por:

Passo 3

Queremos relacionar a taxa de variação do volume ( ) com a taxa de variação do raio ( ). Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :

Passo 4

Ao derivar, aplicamos a regra do poder e a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Podemos reorganizar a equação acima para isolar :

Passo 6

Sabemos que cm³/min e que cm. Substituindo esses valores na equação:

Passo 7

Calculando os valores:

Resposta

Quando o raio do balão mede 10 centímetros, o raio está crescendo a uma taxa de centímetros por minuto, aproximadamente 0,6366 cm/min.

Exercícios relacionados

Seja a área de um círculo de raio , que é uma função do tempo . Se é constante, então também é constante? Justifique.
Suponha que e são funções deriváveis, em relação à variável . Calcule , conforme pedido em cada item abaixo: , para e .
Suponha que e são funções deriváveis, em relação à variável . Calcule , conforme pedido em cada item abaixo: , para e .
Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 10 centímetros.