Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 10 centímetros.
Passo 1
Então, a gente tem um cubo cujos lados estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. A tarefa é descobrir como o volume desse cubo está mudando quando cada lado mede 10 centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
onde
é o volume e
é o comprimento de um lado do cubo.
Como os lados estão mudando com o tempo, o volume também vai mudar com o tempo. Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo usando derivadas:
Aqui:
-
é a taxa de variação do volume. -
é o comprimento do lado do cubo. -
é a taxa de variação do lado do cubo, que sabemos que é 3 cm/s.
Resposta
Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Calculando passo a passo:
Portanto, a taxa de variação do volume quando cada lado do cubo mede 10 centímetros é de 900 centímetros cúbicos por segundo.