Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 10 centímetros.

Passo 1

Então, a gente tem um cubo cujos lados estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. A tarefa é descobrir como o volume desse cubo está mudando quando cada lado mede 10 centímetros. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
onde é o volume e é o comprimento de um lado do cubo.
Como os lados estão mudando com o tempo, o volume também vai mudar com o tempo. Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo usando derivadas:
Aqui:
  • é a taxa de variação do volume.
  • é o comprimento do lado do cubo.
  • é a taxa de variação do lado do cubo, que sabemos que é 3 cm/s.

Resposta

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
Calculando passo a passo:
Portanto, a taxa de variação do volume quando cada lado do cubo mede 10 centímetros é de 900 centímetros cúbicos por segundo.

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Suponha que e são funções deriváveis, em relação à variável . Calcule , conforme pedido em cada item abaixo: , para e .
Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 10 centímetros.
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