Suponha que x e y são funções deriváveis, em relação à variável t. Calcule dy/dt, conforme pedido em cada item abaixo: x^2 + y^2 = 25, para x = 3, y = 4 e dx/dt = 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , que mudam com o tempo . A relação entre elas é dada pela equação . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação ao tempo, ou seja, , quando sabemos que , e . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação ao tempo . Isso significa que vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada individualmente. A derivada de em relação a é e a de é . A derivada de uma constante, como 25, é zero.

Passo 4

Nosso próximo passo é isolar . Vamos reorganizar a equação para resolver para .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos: , e .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados