Suponha que
e
são funções deriváveis, em relação à variável
. Calcule
, conforme pedido em cada item abaixo:
, para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções,
e
, que mudam com o tempo
. A relação entre elas é dada pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação ao tempo, ou seja,
, quando sabemos que
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação
em relação ao tempo
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada individualmente. A derivada de
em relação a
é
e a de
é
. A derivada de uma constante, como 25, é zero.
Passo 4
Nosso próximo passo é isolar
. Vamos reorganizar a equação para resolver para
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
,
e
.
Resposta
Portanto,
.
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Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 10 centímetros.
Seja
a área de um círculo de raio
, que é uma função do tempo
. Se
é constante, então
também é constante? Justifique.
Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 10 centímetros.
Suponha que
e
são funções deriváveis, em relação à variável
. Calcule
, conforme pedido em cada item abaixo:
, para
e
.