Suponha que e são funções deriváveis, em relação à variável . Calcule , conforme pedido em cada item abaixo: , para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções, e , que mudam com o tempo . A relação entre elas é dada pela equação . Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação ao tempo, ou seja, , quando sabemos que , e . Para isso, vamos usar o conceito de derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação ao tempo . Isso significa que vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada individualmente. A derivada de em relação a é e a de é . A derivada de uma constante, como 25, é zero.

Passo 4

Nosso próximo passo é isolar . Vamos reorganizar a equação para resolver para .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos: , e .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Um balão esférico é inflado com gás a uma taxa de 800 centímetros cúbicos por minuto. Determine a que taxa cresce o raio do balão quando o raio medir: 10 centímetros.
Seja a área de um círculo de raio , que é uma função do tempo . Se é constante, então também é constante? Justifique.
Os lados de um cubo estão aumentando a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Determine a taxa de variação do volume quando cada lado medir: 10 centímetros.
Suponha que e são funções deriváveis, em relação à variável . Calcule , conforme pedido em cada item abaixo: , para e .