Seja
a área de um círculo de raio
, que é uma função do tempo
. Se
é constante, então
também é constante? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a área
de um círculo que depende do tempo
. O raio desse círculo é
, e sabemos que a taxa de variação do raio em relação ao tempo,
, é constante. A pergunta é: será que a taxa de variação da área,
, também é constante? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui,
é uma constante (aproximadamente 3,14) e
é o raio do círculo.
Passo 3
Como
é uma função de
, que por sua vez é uma função de
, precisamos encontrar
. Para isso, usamos a regra da cadeia das derivadas, que nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, sabemos que
é constante, ou seja, é um valor fixo que vamos chamar de
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação da regra da cadeia:
Passo 7
Observamos que
depende de
. Se
é constante, isso significa que
está aumentando ou diminuindo a uma taxa constante. No entanto, como
muda com o tempo, a expressão
também muda com o tempo, a menos que
seja constante, o que não é o caso aqui.
Resposta
Não,
não é constante pois depende diretamente do raio
, que está variando com o tempo. Portanto, mesmo que
seja constante, a taxa de variação da área
também varia conforme
muda.