Seja A a área de um círculo de raio r, que é uma função do tempo t. Se d r / d t é constante, então dA/dt também é constante? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a área de um círculo que depende do tempo . O raio desse círculo é , e sabemos que a taxa de variação do raio em relação ao tempo, , é constante. A pergunta é: será que a taxa de variação da área, , também é constante? Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui, é uma constante (aproximadamente 3,14) e é o raio do círculo.

Passo 3

Como é uma função de , que por sua vez é uma função de , precisamos encontrar . Para isso, usamos a regra da cadeia das derivadas, que nos diz que:

Passo 4

Vamos calcular . Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, sabemos que é constante, ou seja, é um valor fixo que vamos chamar de .

Passo 6

Substituindo e na equação da regra da cadeia:

Passo 7

Observamos que depende de . Se é constante, isso significa que está aumentando ou diminuindo a uma taxa constante. No entanto, como muda com o tempo, a expressão também muda com o tempo, a menos que seja constante, o que não é o caso aqui.

Resposta

Não, não é constante pois depende diretamente do raio , que está variando com o tempo. Portanto, mesmo que seja constante, a taxa de variação da área também varia conforme muda.

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