Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumenta a uma taxa de . Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando o raio mede ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um balão esférico que está sendo inflado, e sabe que o volume dele está aumentando a uma taxa de . A pergunta é: qual é a taxa de crescimento do diâmetro do balão quando o raio mede ? Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especificamente derivadas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume de uma esfera com raio é dado por:
Essa fórmula relaciona o volume ao raio da esfera.

Passo 3

Agora, queremos saber como o volume está mudando com o tempo, ou seja, queremos a taxa de variação de em relação ao tempo , representada por . Sabemos que .
Para encontrar como o raio está mudando com o tempo ( ), precisamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar em função de e depois de em função de .

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Substituindo e :

Passo 5

Agora, queremos encontrar a taxa de variação do diâmetro em relação ao tempo, . Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:

Passo 6

Substituindo :

Resposta

A taxa de crescimento do diâmetro quando o raio mede é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função nos ponto dado:
0,2 (d) ponto em .
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto em ;
Determine a equação da reta tangente
OD a curva no ponto .
Calcule os limites abaixo: ;