Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumenta a uma taxa de
. Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando o raio mede
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um balão esférico que está sendo inflado, e sabe que o volume dele está aumentando a uma taxa de
. A pergunta é: qual é a taxa de crescimento do diâmetro do balão quando o raio mede
? Vamos usar cálculo diferencial para resolver isso, especificamente derivadas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume
de uma esfera com raio
é dado por:
Essa fórmula relaciona o volume ao raio da esfera.
Passo 3
Agora, queremos saber como o volume está mudando com o tempo, ou seja, queremos a taxa de variação de
em relação ao tempo
, representada por
. Sabemos que
.
Para encontrar como o raio
está mudando com o tempo (
), precisamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
em função de
e depois de
em função de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do diâmetro
em relação ao tempo,
. Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Passo 6
Substituindo
:
Resposta
A taxa de crescimento do diâmetro quando o raio mede
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
0,2 (d) ponto
em
.
0,2 (d)
Calcule a derivada da função nos ponto dado:
ponto
em
;
Determine a equação da reta tangente
OD a curva no ponto
.
OD a curva
Calcule os limites abaixo:
;