Determine a equação da reta tangente
OD a curva
no ponto
.
OD a curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela equação
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico.
Passo 2
Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação da curva em relação a
. Isso nos ajudará a encontrar
, que é a inclinação da reta tangente.
A equação dada é:
Diferenciando cada termo:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto e a regra da cadeia). - A derivada de
é . - A derivada de
é 1. - A derivada de 1 é 0.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para
:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de
e
pelo ponto dado
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 2.
Passo 5
Agora que temos a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
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em
.
0,2 (d)
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;
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