Derive as seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos derivar a função
. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções compostas, como a função arco-tangente (
) e funções exponenciais (
). Vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções.
Passo 2
Vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Podemos ver que temos três camadas:
- A função externa:
, onde . - A função intermediária:
, onde . - A função interna:
.
Passo 3
Começamos derivando a função externa em relação a
:
Aqui,
.
Passo 4
Agora, derivamos a função intermediária em relação a
:
Aqui,
.
Passo 5
Em seguida, derivamos a função interna em relação a
:
A constante
tem derivada zero.
Passo 6
Aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas encontradas:
Substituindo as derivadas:
Passo 7
Simplificamos a expressão. Note que
. Então:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais multiplicando os termos:
E simplificando o 2 no denominador:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Determine
de modo que a equação
apresente três raízes reais distintas.
Um balão de formato esférico é enchido com ar a uma vazão constante de
. Determine a taxa de variação intantânea do raio em relação ao tempo quando o raio for 3 m .
Calcule aproximadamente, via diferenciais, um valor aproximado para
.
Obtenha o gráfico de
.