Derive as seguintes funções: y = h(x) = arctan(raiz(2^x + pi))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos derivar a função . Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções compostas, como a função arco-tangente ( ) e funções exponenciais ( ). Vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de funções.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Podemos ver que temos três camadas:
  1. A função externa: , onde .
  2. A função intermediária: , onde .
  3. A função interna: .

Passo 3

Começamos derivando a função externa em relação a :
Aqui, .

Passo 4

Agora, derivamos a função intermediária em relação a :
Aqui, .

Passo 5

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :
A constante tem derivada zero.

Passo 6

Aplicamos a regra da cadeia multiplicando todas as derivadas encontradas:
Substituindo as derivadas:

Passo 7

Simplificamos a expressão. Note que . Então:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais multiplicando os termos:
E simplificando o 2 no denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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