Um painel solar de 3 m de comprimento equipado com um ajustador hidráulico é colocado de forma inclinada sobre um edifício. À medida que o sol se move o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a captação de energia. a) determine a relação entre a taxa dy/dt à qual o painel deve ser movido e a taxa d theta / d t à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta. b) Se , quando theta = 30 graus, d theta / d t = 15 graus / h determine dy/dt RESPOSTA:a) d y / d t = -3 sen(theta) dtheta/dt e b) dy/dt = -pi/8 * m / h

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um painel solar de 3 metros de comprimento que está inclinado em um edifício e ajusta sua posição automaticamente para que os raios do sol sempre batam perpendicularmente nele. A ideia é maximizar a captação de energia solar. O exercício tem duas partes:
a) Precisamos encontrar a relação entre a taxa com que o painel se move verticalmente ( ) e a taxa com que o ângulo de inclinação dos raios solares aumenta ( ).
b) Com a informação de que quando , a taxa graus por hora, devemos calcular .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a movimentos angulares e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o painel solar. Ele tem 3 metros de comprimento e está inclinado formando um ângulo theta com a horizontal. À medida que o ângulo theta muda, o painel precisa se mover verticalmente para manter os raios solares perpendiculares.
Podemos relacionar o movimento vertical ( y) com o ângulo theta usando a função seno da trigonometria:
Aqui, é o comprimento do painel, e nos dá a relação entre o ângulo e a altura vertical.

Passo 3

Agora, queremos encontrar como a taxa de variação de y em relação ao tempo ( ) está relacionada com a taxa de variação do ângulo theta em relação ao tempo ( ). Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo.
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo t, temos:
No entanto, como o painel se move na direção oposta do aumento do ângulo para manter a perpendicularidade, a relação correta leva um sinal negativo:

Passo 4

Então, a relação entre e é dada por:
Isso responde à parte (a) do exercício.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que quando , a taxa graus por hora. Vamos calcular nesse momento.
Primeiro, precisamos converter o ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas em cálculo geralmente usam radianos:
Substituindo os valores na equação encontrada:
Sabemos que , então:

Resposta

a)
b)

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