Um painel solar de
de comprimento equipado com um ajustador hidráulico é colocado de forma inclinada sobre um edifício. À medida que o sol se move o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a captação de energia. a) determine a relação entre a taxa
à qual o painel deve ser movido e a taxa
à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta. b) Se , quando
determine
RESPOSTA:a)
e b)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um painel solar de 3 metros de comprimento que está inclinado em um edifício e ajusta sua posição automaticamente para que os raios do sol sempre batam perpendicularmente nele. A ideia é maximizar a captação de energia solar. O exercício tem duas partes:
a) Precisamos encontrar a relação entre a taxa com que o painel se move verticalmente (
) e a taxa com que o ângulo de inclinação dos raios solares aumenta (
).
b) Com a informação de que quando
, a taxa
graus por hora, devemos calcular
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a movimentos angulares e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o painel solar. Ele tem 3 metros de comprimento e está inclinado formando um ângulo
com a horizontal. À medida que o ângulo
muda, o painel precisa se mover verticalmente para manter os raios solares perpendiculares.
Podemos relacionar o movimento vertical (
) com o ângulo
usando a função seno da trigonometria:
Aqui,
é o comprimento do painel, e
nos dá a relação entre o ângulo e a altura vertical.
Passo 3
Agora, queremos encontrar como a taxa de variação de
em relação ao tempo (
) está relacionada com a taxa de variação do ângulo
em relação ao tempo (
). Para isso, vamos derivar a equação em relação ao tempo.
Derivando ambos os lados da equação
em relação ao tempo
, temos:
No entanto, como o painel se move na direção oposta do aumento do ângulo para manter a perpendicularidade, a relação correta leva um sinal negativo:
Passo 4
Então, a relação entre
e
é dada por:
Isso responde à parte (a) do exercício.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que quando
, a taxa
graus por hora. Vamos calcular
nesse momento.
Primeiro, precisamos converter o ângulo para radianos, já que as funções trigonométricas em cálculo geralmente usam radianos:
Substituindo os valores na equação encontrada:
Sabemos que
, então:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Às
o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à
e o navio B está navegando para o sul a
então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às
. RESPOSTA:
Duas variáveis
e
são funções de uma variável
e estão relacionadas pela equação:
Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 1 quando
então determine qual a taxa de variação de
em relação a
neste mesmo instante. RESPOSTA:
Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a
do solo. A corda é liberada à razão de
na medida em que o papagaio se move horizontalmente a uma altura de
. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. RESPOSTA:
Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de
. O carretel que libera a corda está a
da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150 m de corda? RESPOSTA: