Para um balão de ar quente subir é necessário um certo volume de ar quente. Considerando que a densidade do ar a é de , que a massa do balão mais os tripulantes é de e que a densidade do ar quente é de , calcule (a) a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, para que o balão suba com uma aceleração de . (b) Quanto é o volume de ar quente se o volume do envelope do balão (volume total) é de 12831,7 ?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos um balão de ar quente que precisa subir, e para isso, precisamos calcular quanto de ar quente ele deve conter. O problema fornece a densidade do ar frio a 20°C, a densidade do ar quente a 99°C, a massa total do balão mais os passageiros, e a aceleração com que queremos que o balão suba. Vamos usar os conceitos de força de empuxo, peso e segunda lei de Newton para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de empuxo é a força que o ar exerce para empurrar o balão para cima. Ela depende da densidade do ar frio, do volume total do balão e da aceleração da gravidade. A fórmula para a força de empuxo (F_empuxo) é:
onde:
  • é a densidade do ar frio,
  • é o volume total do balão,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, o peso do ar quente dentro do balão também exerce uma força para baixo. A fórmula para o peso do ar quente (F_peso_ar_quente) é:
onde:
  • é a densidade do ar quente,
  • é o volume de ar quente dentro do balão.

Passo 4

Além disso, temos o peso total do balão e dos tripulantes, que é:

Passo 5

Para que o balão suba com uma aceleração , a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante (F_resultante) é igual à massa total multiplicada pela aceleração:
Queremos que o balão acelere para cima, então a força de empuxo menos o peso do ar quente e o peso total deve ser igual à força resultante:

Passo 6

Substituindo as fórmulas que temos:
Podemos simplificar eliminando o de todos os termos:

Passo 7

Queremos encontrar a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, ou seja, . Vamos chamar essa proporção de :
Então, .

Passo 8

Substituindo na equação anterior:
Podemos fatorar :

Passo 9

Agora, isolamos :

Passo 10

Vamos agora substituir os valores numéricos:
Mas como ainda não temos o para a parte (a), vamos deixar a expressão em termos de .

Resposta

A proporção do volume de ar quente em relação ao volume total necessária para que o balão suba com uma aceleração de é aproximadamente 0,0603 ou 6,03%.

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