Para um balão de ar quente subir é necessário um certo volume de ar quente. Considerando que a densidade do ar a
é de
, que a massa do balão mais os tripulantes é de
e que a densidade do ar quente
é de
, calcule (a) a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, para que o balão suba com uma aceleração de
. (b) Quanto é o volume de ar quente
se o volume do envelope do balão (volume total) é de 12831,7
?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos um balão de ar quente que precisa subir, e para isso, precisamos calcular quanto de ar quente ele deve conter. O problema fornece a densidade do ar frio a 20°C, a densidade do ar quente a 99°C, a massa total do balão mais os passageiros, e a aceleração com que queremos que o balão suba. Vamos usar os conceitos de força de empuxo, peso e segunda lei de Newton para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de empuxo é a força que o ar exerce para empurrar o balão para cima. Ela depende da densidade do ar frio, do volume total do balão e da aceleração da gravidade. A fórmula para a força de empuxo (F_empuxo) é:
onde:
-
é a densidade do ar frio, -
é o volume total do balão, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, o peso do ar quente dentro do balão também exerce uma força para baixo. A fórmula para o peso do ar quente (F_peso_ar_quente) é:
onde:
-
é a densidade do ar quente, -
é o volume de ar quente dentro do balão.
Passo 4
Além disso, temos o peso total do balão e dos tripulantes, que é:
Passo 5
Para que o balão suba com uma aceleração
, a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante (F_resultante) é igual à massa total multiplicada pela aceleração:
Queremos que o balão acelere para cima, então a força de empuxo menos o peso do ar quente e o peso total deve ser igual à força resultante:
Passo 6
Substituindo as fórmulas que temos:
Podemos simplificar eliminando o
de todos os termos:
Passo 7
Queremos encontrar a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, ou seja,
. Vamos chamar essa proporção de
:
Então,
.
Passo 8
Substituindo
na equação anterior:
Podemos fatorar
:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Vamos agora substituir os valores numéricos:
Mas como ainda não temos o
para a parte (a), vamos deixar a expressão em termos de
.
Resposta
A proporção do volume de ar quente em relação ao volume total necessária para que o balão suba com uma aceleração de
é aproximadamente 0,0603 ou 6,03%.
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,
para
para
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