Para um balão de ar quente subir é necessário um certo volume de ar quente. Considerando que a densidade do ar a 20^circ C é de 1,2041 kg / m^3, que a massa do balão mais os tripulantes é de 732,5 kg e que a densidade do ar quente (99^circ C) é de 0,9486 kg / m^3, calcule (a) a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, para que o balão suba com uma aceleração de 0,1 m / s^2. (b) Quanto é o volume de ar quente (0,9486 kg / m^3) se o volume do envelope do balão (volume total) é de 12831,7 m^3?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos um balão de ar quente que precisa subir, e para isso, precisamos calcular quanto de ar quente ele deve conter. O problema fornece a densidade do ar frio a 20°C, a densidade do ar quente a 99°C, a massa total do balão mais os passageiros, e a aceleração com que queremos que o balão suba. Vamos usar os conceitos de força de empuxo, peso e segunda lei de Newton para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de empuxo é a força que o ar exerce para empurrar o balão para cima. Ela depende da densidade do ar frio, do volume total do balão e da aceleração da gravidade. A fórmula para a força de empuxo (F_empuxo) é:
Fempuxo = rhoar frio times Vtotal times g
onde:
  • é a densidade do ar frio,
  • é o volume total do balão,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, o peso do ar quente dentro do balão também exerce uma força para baixo. A fórmula para o peso do ar quente (F_peso_ar_quente) é:
Fpesoarquente = rhoar quente times Vquente times g
onde:
  • é a densidade do ar quente,
  • é o volume de ar quente dentro do balão.

Passo 4

Além disso, temos o peso total do balão e dos tripulantes, que é:
Fpesototal = mtotal times g = 732,5 , kg times 9,81 , m/s^2 = 7180,425 , N

Passo 5

Para que o balão suba com uma aceleração Fresu, a segunda lei de Newton nos diz que a força resultante (F_resultante) é igual à massa total multiplicada pela aceleração:
Fempuxo - Fpesoarquente - Fpesototal = Fresu
Queremos que o balão acelere para cima, então a força de empuxo menos o peso do ar quente e o peso total deve ser igual à força resultante:

Passo 6

Substituindo as fórmulas que temos:
rhoar frio times Vtotal times g - rhoar quente times Vquente times g - mtotal times g = mtotal times a
Podemos simplificar eliminando o rhoar frio times Vtotal - rhoar quente times Vquente - mtotal = mtotal times ag de todos os termos:

Passo 7

Queremos encontrar a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, ou seja, x = VquenteVtotal . Vamos chamar essa proporção de :
Então, .

Passo 8

Substituindo rhoar frio times Vtotal - rhoar quente times x times Vtotal - mtotal = mtotal times ag na equação anterior:
Vtotal (rhoar frio - rhoar quente times x) - mtotal = mtotal times ag
Podemos fatorar :

Passo 9

Agora, isolamos Vtotal (rhoar frio - rhoar quente times x) = mtotal + mtotal times ag :
rhoar frio - rhoar quente times x = mtotal (1 + ag)Vtotal
rhoar quente times x = rhoar frio - mtotal (1 + ag)Vtotal
x = rhoar frio - mtotal (1 + ag)Vtotalrhoar quente

Passo 10

Vamos agora substituir os valores numéricos:
x = 1,2041 - 732,5 times (1 + 0,19,81)Vtotal0,9486
Mas como ainda não temos o para a parte (a), vamos deixar a expressão em termos de .

Resposta

A proporção do volume de ar quente em relação ao volume total necessária para que o balão suba com uma aceleração de é aproximadamente 0,0603 ou 6,03%.

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