Uma pequena esfera condutora maciça com raio e carga +Q foi colocada no centro de uma esfera maciça com raio e constante dielétrica . Determine:
a) (1.0) O campo elétrico para qualquer valor de r . para , para para
b) (1.0) Faça um gráfico do potencial V® em função da distância do centro da esfera, para todo valor de . Considere
c) (0.5) A densidade superficial da carga induzida na superfície do dielétrico. Sugestão: use a lei de Gauss num pequeno cilindro com parede normal à superfície que contenha um disco da superfície externa do dielétrico. Calcule o fluxo dos campos e nas respectivas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pequena esfera condutora com raio e carga colocada no centro de uma esfera maior, com raio e um material dielétrico com constante dielétrica . Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das esferas, o potencial elétrico em função da distância , e a densidade superficial de carga induzida na superfície do dielétrico. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática envolvendo dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os diferentes intervalos de que precisamos considerar para encontrar o campo elétrico :
  1. : Dentro da esfera condutora.
  2. : Entre a esfera condutora e a esfera dielétrica.
  3. : Fora da esfera dielétrica.

Passo 3

Vamos começar com . Dentro de uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície externa da esfera condutora, e o interior permanece sem campo.
Portanto:

Passo 4

Agora, para , estamos na região entre a esfera condutora e a esfera dielétrica. Aqui, a carga da esfera condutora cria um campo elétrico que pode ser determinado pela Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde e .
Para uma superfície gaussiana esférica de raio , temos:
Então, o campo elétrico nessa região é:

Passo 5

Finalmente, para , estamos fora da esfera dielétrica. A carga total considerada é a carga da esfera condutora mais a carga induzida na superfície da esfera dielétrica. Como o dielétrico é neutro, a carga total induzida na superfície é , equilibrando a carga interna.
Portanto, a carga efetiva na superfície externa da esfera dielétrica é . Isso significa que não há carga líquida fora da esfera dielétrica, então o campo elétrico é zero nessa região.

Passo 6

Resumindo os resultados das três regiões:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A expressão do campo elétrico para qualquer valor de é:

Exercícios relacionados

Considere uma esfera isolante de raio com carga positiva uniformemente distribuída em seu volume.
a) (1.0) Calcule o campo elétrico dentro e fora da esfera.
b) (0.5) Faça um gráfico de em função de para , indicando o valor em .
Suponha que exista um tubo muito fino e retilíneo atravessando toda a esfera, passando pelo seu centro. Uma partícula de massa e carga negativa é solta em uma extremidade do tubo, c) (0.5) Desprezando a força gravitacional, calcule a força resultante sobre a partícula quando ela estiver a uma distância do centro da esfera.
d) (0.5) Qual será o movimento descrito pela carga? Quanto tempo ela levará para retornar ao ponto de que foi solta?
i) Para comprimentos de ondas maiores àlinha de emissão do ferro, qual éo menor valor (de comprimento de onda) que você conseguina distinguir dessa linha do ferm?
ii) Para comprimentos de ondas menores à linha de emissão do ferro, qual é o maior valor (de comprimento de onda) que você conseguinia distinguir dessa linha do ferro?
iii) Qual éa faixa de comprimentos de onda que você não conseguinia distinguir da linha do ferro?
Se uma fonte de luz emite em , qual é o máximo ordem que pode ser observado?
Para um balão de ar quente subir é necessário um certo volume de ar quente. Considerando que a densidade do ar a é de , que a massa do balão mais os tripulantes é de e que a densidade do ar quente é de , calcule (a) a proporção do volume de ar quente em relação ao volume total, para que o balão suba com uma aceleração de . (b) Quanto é o volume de ar quente se o volume do envelope do balão (volume total) é de 12831,7 ?