Uma pequena esfera condutora maciça com raio
e carga +Q foi colocada no centro de uma esfera maciça com raio
e constante dielétrica
. Determine:
a) (1.0) O campo elétrico
para qualquer valor de r .
para
,
para
para
b) (1.0) Faça um gráfico do potencial V® em função da distância
do centro da esfera, para todo valor de
. Considere
c) (0.5) A densidade superficial da carga induzida na superfície do dielétrico. Sugestão: use a lei de Gauss num pequeno cilindro com parede normal à superfície que contenha um disco da superfície externa do dielétrico. Calcule o fluxo dos campos
e
nas respectivas
a) (1.0) O campo elétrico
b) (1.0) Faça um gráfico do potencial V® em função da distância
c) (0.5) A densidade superficial da carga induzida na superfície do dielétrico. Sugestão: use a lei de Gauss num pequeno cilindro com parede normal à superfície que contenha um disco da superfície externa do dielétrico. Calcule o fluxo dos campos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pequena esfera condutora com raio
e carga
colocada no centro de uma esfera maior, com raio
e um material dielétrico com constante dielétrica
. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico
em diferentes regiões ao redor das esferas, o potencial elétrico
em função da distância
, e a densidade superficial de carga induzida na superfície do dielétrico. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática envolvendo dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os diferentes intervalos de
que precisamos considerar para encontrar o campo elétrico
:
-
: Dentro da esfera condutora. -
: Entre a esfera condutora e a esfera dielétrica. -
: Fora da esfera dielétrica.
Passo 3
Vamos começar com
. Dentro de uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície externa da esfera condutora, e o interior permanece sem campo.
Portanto:
Passo 4
Agora, para
, estamos na região entre a esfera condutora e a esfera dielétrica. Aqui, a carga
da esfera condutora cria um campo elétrico que pode ser determinado pela Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
e
.
Para uma superfície gaussiana esférica de raio
, temos:
Então, o campo elétrico nessa região é:
Passo 5
Finalmente, para
, estamos fora da esfera dielétrica. A carga total considerada é a carga da esfera condutora
mais a carga induzida na superfície da esfera dielétrica. Como o dielétrico é neutro, a carga total induzida na superfície é
, equilibrando a carga interna.
Portanto, a carga efetiva na superfície externa da esfera dielétrica é
. Isso significa que não há carga líquida fora da esfera dielétrica, então o campo elétrico é zero nessa região.
Passo 6
Resumindo os resultados das três regiões:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A expressão do campo elétrico
para qualquer valor de
é: