Uma pequena esfera condutora maciça com raio a e carga +Q foi colocada no centro de uma esfera maciça com raio R>a e constante dielétrica kappa=varepsilon / varepsilon0. Determine:
a) (1.0) O campo elétrico E(r) para qualquer valor de r . (E1(r) para r, E2(r) para a para R
b) (1.0) Faça um gráfico do potencial V® em função da distância r do centro da esfera, para todo valor de r>0. Considere lim r infty V(r)=0
c) (0.5) A densidade superficial da carga induzida na superfície do dielétrico. Sugestão: use a lei de Gauss num pequeno cilindro com parede normal à superfície que contenha um disco da superfície externa do dielétrico. Calcule o fluxo dos campos E2 e E3 nas respectivas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pequena esfera condutora com raio e carga colocada no centro de uma esfera maior, com raio e um material dielétrico com constante dielétrica . Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das esferas, o potencial elétrico em função da distância , e a densidade superficial de carga induzida na superfície do dielétrico. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática envolvendo dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os diferentes intervalos de que precisamos considerar para encontrar o campo elétrico :
  1. : Dentro da esfera condutora.
  2. : Entre a esfera condutora e a esfera dielétrica.
  3. : Fora da esfera dielétrica.

Passo 3

Vamos começar com E1(r) = 0 para r < a . Dentro de uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície externa da esfera condutora, e o interior permanece sem campo.
Portanto:

Passo 4

Agora, para oint E cdot dA = Qencvarepsilon , estamos na região entre a esfera condutora e a esfera dielétrica. Aqui, a carga E2(r) cdot 4pi r^2 = Qkappa varepsilon0 da esfera condutora cria um campo elétrico que pode ser determinado pela Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
E2(r) = Q4pi kappa varepsilon0 r^2
Onde E2(r) = Q4pi kappa varepsilon0 r^2 r para a < r < R e .
Para uma superfície gaussiana esférica de raio , temos:
Então, o campo elétrico nessa região é:

Passo 5

Finalmente, para E3(r) = 0 para r > R , estamos fora da esfera dielétrica. A carga total considerada é a carga da esfera condutora mais a carga induzida na superfície da esfera dielétrica. Como o dielétrico é neutro, a carga total induzida na superfície é , equilibrando a carga interna.
Portanto, a carga efetiva na superfície externa da esfera dielétrica é . Isso significa que não há carga líquida fora da esfera dielétrica, então o campo elétrico é zero nessa região.

Passo 6

Resumindo os resultados das três regiões:
  1. Para E1(r) = 0 :
E2(r) = Q4pi kappa varepsilon0 r^2 r
  1. Para E3(r) = 0 :
  1. Para :

Resposta

A expressão do campo elétrico E(r) = 0 & para r < a, Q4pi kappa varepsilon0 r^2 r & para a < r < R, 0 & para r > R para qualquer valor de é:

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