Uma pequena esfera condutora maciça com raio e carga +Q foi colocada no centro de uma esfera maciça com raio e constante dielétrica . Determine:
a) (1.0) O campo elétrico para qualquer valor de r . para , para para
b) (1.0) Faça um gráfico do potencial V® em função da distância do centro da esfera, para todo valor de . Considere
c) (0.5) A densidade superficial da carga induzida na superfície do dielétrico. Sugestão: use a lei de Gauss num pequeno cilindro com parede normal à superfície que contenha um disco da superfície externa do dielétrico. Calcule o fluxo dos campos e nas respectivas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pequena esfera condutora com raio e carga colocada no centro de uma esfera maior, com raio e um material dielétrico com constante dielétrica . Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor das esferas, o potencial elétrico em função da distância , e a densidade superficial de carga induzida na superfície do dielétrico. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e conceitos de eletrostática envolvendo dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os diferentes intervalos de que precisamos considerar para encontrar o campo elétrico :
: Dentro da esfera condutora.
: Entre a esfera condutora e a esfera dielétrica.
: Fora da esfera dielétrica.
Passo 3
Vamos começar com . Dentro de uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se distribuem na superfície externa da esfera condutora, e o interior permanece sem campo.
Portanto:
Passo 4
Agora, para , estamos na região entre a esfera condutora e a esfera dielétrica. Aqui, a carga da esfera condutora cria um campo elétrico que pode ser determinado pela Lei de Gauss.
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde e .
Para uma superfície gaussiana esférica de raio , temos:
Então, o campo elétrico nessa região é:
Passo 5
Finalmente, para , estamos fora da esfera dielétrica. A carga total considerada é a carga da esfera condutora mais a carga induzida na superfície da esfera dielétrica. Como o dielétrico é neutro, a carga total induzida na superfície é , equilibrando a carga interna.
Portanto, a carga efetiva na superfície externa da esfera dielétrica é . Isso significa que não há carga líquida fora da esfera dielétrica, então o campo elétrico é zero nessa região.
Passo 6
Resumindo os resultados das três regiões:
Para :
Para :
Para :
Resposta
A expressão do campo elétrico para qualquer valor de é: