Para a saída de um pequeno riacho, um tubo de duas polegadas está localizado 50 metros mais alto em relação ao ponto onde se pretende fazer a irrigação. O proprietário quer saber a vazão da saída do tubo. Considerando a viscosidade da água, a temperatura ambiente ( 25^circ C ) e a pressão total que seria se não houvesse em viscosidade, calcule (a) a queda de pressão e (b) a vazão da água na saída do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tubo de duas polegadas, que está 50 metros mais alto que o ponto onde queremos irrigar. O que a gente precisa descobrir é:
a) Queda de pressão no tubo, considerando a viscosidade da água e a pressão que existiria se a água não tivesse viscosidade.
b) Vazão da água que sai do tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especificamente a pressão hidrostática e a perda de carga por viscosidade. Vamos precisar também de algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a queda de pressão devido à altura de 50 metros. A pressão hidrostática é dada pela fórmula:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • P = 1000 cdot 9,81 cdot 50 = 490500 , Pa é a pressão,
  • é a densidade da água,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
Sabemos que a densidade da água ( ) é aproximadamente , , e .
Substituindo os valores:
Isso significa que a queda de pressão devido à altura é de 490.500 Pascais.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a perda de carga por viscosidade. Para isso, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • D = 2 , po<=gadas times 0,0254 , m/po<=gada = 0,0508 , m é a perda de pressão,
  • é o fator de atrito de Darcy,
  • é o comprimento do tubo,
  • é o diâmetro do tubo,
  • é a densidade da água,
  • é a velocidade da água.
Para simplificar, vamos assumir que o fator de atrito é aproximadamente 0,02 (valor típico para fluxo turbulento em tubulações lisas), e o comprimento é o mesmo que a altura, 50 metros. O diâmetro do tubo de duas polegadas em metros é:
Agora, precisamos encontrar a velocidade da água. Para isso, vamos usar a continuidade do fluxo e a equação de Bernoulli, mas como ainda não temos a vazão, vamos ir para o próximo passo.

Passo 4

Vamos calcular a vazão da água utilizando a fórmula de Bernoulli simplificada, que relaciona a velocidade com a queda de pressão. A equação básica é:
v = raiz2 Prho
Usando a queda de pressão total que calculamos (incluindo a pressão hidrostática e a perda por viscosidade), vamos considerar apenas a pressão hidrostática para uma primeira aproximação:
v = raiz2 cdot 4905001000 = raiz981 approx 31,3 , m/s
Agora, sabendo a velocidade, podemos calcular a vazão ( Q = A cdot v ) usando a área da seção transversal do tubo:
A = pi cdot ( D2 )^2 = pi cdot ( 0,05082 )^2 approx 0,00203 , m^2
Onde Q = 0,00203 cdot 31,3 approx 0,0635 , m^3/s é a área do tubo:
0,0635 , m^3/s times 1000 = 63,5 , L/s
Então,
Convertendo para litros por segundo:

Resposta

a) A queda de pressão é de 490.500 Pascais.
b) A vazão da água na saída do tubo é de aproximadamente 63,5 litros por segundo.

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