Para a saída de um pequeno riacho, um tubo de duas polegadas está localizado 50 metros mais alto em relação ao ponto onde se pretende fazer a irrigação. O proprietário quer saber a vazão da saída do tubo. Considerando a viscosidade da água, a temperatura ambiente (
) e a pressão total que seria se não houvesse em viscosidade, calcule (a) a queda de pressão e (b) a vazão da água na saída do tubo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tubo de duas polegadas, que está 50 metros mais alto que o ponto onde queremos irrigar. O que a gente precisa descobrir é:
a) Queda de pressão no tubo, considerando a viscosidade da água e a pressão que existiria se a água não tivesse viscosidade.
b) Vazão da água que sai do tubo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especificamente a pressão hidrostática e a perda de carga por viscosidade. Vamos precisar também de algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a queda de pressão devido à altura de 50 metros. A pressão hidrostática é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Sabemos que a densidade da água (
) é aproximadamente
,
, e
.
Substituindo os valores:
Isso significa que a queda de pressão devido à altura é de 490.500 Pascais.
Passo 3
Agora, precisamos considerar a perda de carga por viscosidade. Para isso, usamos a equação de Darcy-Weisbach:
Onde:
-
é a perda de pressão, -
é o fator de atrito de Darcy, -
é o comprimento do tubo, -
é o diâmetro do tubo, -
é a densidade da água, -
é a velocidade da água.
Para simplificar, vamos assumir que o fator de atrito
é aproximadamente 0,02 (valor típico para fluxo turbulento em tubulações lisas), e o comprimento
é o mesmo que a altura, 50 metros. O diâmetro do tubo de duas polegadas em metros é:
Agora, precisamos encontrar a velocidade da água. Para isso, vamos usar a continuidade do fluxo e a equação de Bernoulli, mas como ainda não temos a vazão, vamos ir para o próximo passo.
Passo 4
Vamos calcular a vazão da água utilizando a fórmula de Bernoulli simplificada, que relaciona a velocidade com a queda de pressão. A equação básica é:
Usando a queda de pressão total que calculamos (incluindo a pressão hidrostática e a perda por viscosidade), vamos considerar apenas a pressão hidrostática para uma primeira aproximação:
Agora, sabendo a velocidade, podemos calcular a vazão (
) usando a área da seção transversal do tubo:
Onde
é a área do tubo:
Então,
Convertendo para litros por segundo:
Resposta
a) A queda de pressão é de 490.500 Pascais.
b) A vazão da água na saída do tubo é de aproximadamente 63,5 litros por segundo.