Considere a função
f(x, y) = x^5 * y^6 + y^4
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
D = {(x, y) | 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume que está embaixo do gráfico da função na região definida por e . Para isso, a gente vai usar o conceito de integral dupla, que ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer somar todos os “pedacinhos” de volume acima de cada ponto na região . A integral dupla faz exatamente isso, somando as alturas em cada ponto sobre a área de .

Passo 3

A fórmula da integral dupla para o volume é:
No nosso caso, , , e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Vamos integrar termo a termo:
Então, somando os resultados:

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a de 0 a 3:
Novamente, integramos termo a termo:
Somando esses dois resultados:

Passo 6

Vamos simplificar essa soma. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 210:
Agora, somamos:

Resposta

O volume sob o gráfico da função na região dada é aproximadamente 179,57 unidades cúbicas.

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