Considere a função
Qual é o volume sob o gráfico dessa função na região em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume que está embaixo do gráfico da função
na região
definida por
e
. Para isso, a gente vai usar o conceito de integral dupla, que ajuda a calcular volumes sob superfícies em regiões específicas do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que você quer somar todos os “pedacinhos” de volume acima de cada ponto
na região
. A integral dupla faz exatamente isso, somando as alturas
em cada ponto
sobre a área de
.
Passo 3
A fórmula da integral dupla para o volume
é:
No nosso caso,
,
,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então, somando os resultados:
Passo 5
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
de 0 a 3:
Novamente, integramos termo a termo:
Somando esses dois resultados:
Passo 6
Vamos simplificar essa soma. Primeiro, encontramos um denominador comum, que é 210:
Agora, somamos:
Resposta
O volume sob o gráfico da função na região dada é aproximadamente 179,57 unidades cúbicas.