Um balonista de ar quente que se desloca verticalmente para cima com velocidade constante de módulo igual a deixa cair um saco de areia no momento em que ele está a uma distância de 40,0 m acima do solo (Figura 1). Após ser largado, o saco de areia passa a se mover em queda livre.
(e) Faça gráficos e para o movimento do saco de areia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre movimento vertical de um objeto. O cenário é o seguinte: um balonista que está subindo verticalmente com uma velocidade constante de 5,0 m/s solta um saco de areia a 40,0 metros acima do chão. A partir daí, o saco de areia começa a cair livremente. Nosso objetivo aqui é fazer os gráficos de aceleração ( ) versus tempo ( ), velocidade ( ) versus tempo ( ) e posição ( ) versus tempo ( ) para esse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente sobre movimentos com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o saco de areia é solto. No instante em que ele é largado, sua velocidade inicial ( ) é a mesma do balonista, ou seja, 5,0 m/s para cima. Depois disso, o único movimento que atua sobre o saco é a aceleração da gravidade ( ), que puxa o objeto para baixo com uma aceleração constante de aproximadamente .

Passo 3

Vamos definir nosso referencial: vamos considerar para cima como positivo. Assim, a aceleração devido à gravidade será negativa, já que está puxando o saco para baixo. Então, temos:
Esse é o valor da aceleração constante que vamos usar para os gráficos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações de velocidade ( ) e posição ( ) em função do tempo ( ). Sabemos que:
Onde:
  • (velocidade inicial)
  • (posição inicial)

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação da velocidade:
E na equação da posição:

Passo 6

Agora, vamos descrever como serão os gráficos:
  1. Gráfico de vs : Como a aceleração é constante ( ), esse gráfico será uma linha reta horizontal no valor ao longo de todo o tempo.
  2. Gráfico de vs : A equação representa uma reta com inclinação negativa. Começa em quando e diminui linearmente à medida que o tempo aumenta.
  3. Gráfico de vs : A equação é uma parábola que abre para baixo devido ao termo . Isso significa que a posição inicialmente aumenta devido à velocidade positiva, mas depois começa a diminuir à medida que a aceleração da gravidade vence a velocidade inicial.

Passo 7

Para visualizar melhor, aqui estão os esboços simplificados dos gráficos:
  1. Aceleração vs Tempo ( )
    a_y
    ^
    |-------------------------------
    |                              
    |-------------------------------
    +------------------------------> t
          -9.8 m/s²
    
  2. Velocidade vs Tempo ( )
    v_y
    ^
    |\
    | \
    |  \
    |   \
    |    \
    |     \ 
    |      \
    |       \
    +------------------------------> t
         Inclinação -9,8 m/s²
    
  3. Posição vs Tempo ( )
    y
    ^
    |       ***
    |      *   *
    |     *     *
    |    *       *
    |   *         *
    |  *           *
    | *             *
    |*               
    +------------------------------> t
         Parábola abrindo para baixo
    

Resposta

Fechando, os gráficos para o movimento do saco de areia são:
  1. Aceleração vs Tempo ( ): Uma linha horizontal constante em .
  2. Velocidade vs Tempo ( ): Uma linha reta descendente começando em e diminuindo com inclinação .
  3. Posição vs Tempo ( ): Uma parábola que inicialmente aumenta e depois diminui, devido à aceleração da gravidade atuando contra a velocidade inicial.

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