Um balonista de ar quente que se desloca verticalmente para cima com velocidade constante de módulo igual a 5,0 m / s deixa cair um saco de areia no momento em que ele está a uma distância de 40,0 m acima do solo (Figura 1). Após ser largado, o saco de areia passa a se mover em queda livre.
(e) Faça gráficos ay times t, vy times t e y times t para o movimento do saco de areia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física sobre movimento vertical de um objeto. O cenário é o seguinte: um balonista que está subindo verticalmente com uma velocidade constante de 5,0 m/s solta um saco de areia a 40,0 metros acima do chão. A partir daí, o saco de areia começa a cair livremente. Nosso objetivo aqui é fazer os gráficos de aceleração ( ay) versus tempo ( t), velocidade ( vy) versus tempo ( t) e posição ( y) versus tempo ( t) para esse movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente sobre movimentos com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o saco de areia é solto. No instante em que ele é largado, sua velocidade inicial ( v0) é a mesma do balonista, ou seja, 5,0 m/s para cima. Depois disso, o único movimento que atua sobre o saco é a aceleração da gravidade ( g), que puxa o objeto para baixo com uma aceleração constante de aproximadamente 9,8 , m/s^2.

Passo 3

Vamos definir nosso referencial: vamos considerar para cima como positivo. Assim, a aceleração devido à gravidade será negativa, já que está puxando o saco para baixo. Então, temos:
ay = -g = -9,8 , m/s^2
Esse é o valor da aceleração constante que vamos usar para os gráficos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações de velocidade ( vy) e posição ( y) em função do tempo ( t). Sabemos que:
vy(t) = v0 + ay cdot t
y(t) = y0 + v0 cdot t + 12 ay cdot t^2
Onde:
  • v0 = 5,0 , m/s (velocidade inicial)
  • y0 = 40,0 , m (posição inicial)

Passo 5

Vamos substituir os valores na equação da velocidade:
vy(t) = 5,0 , m/s - 9,8 , m/s^2 cdot t
E na equação da posição:
y(t) = 40,0 , m + 5,0 , m/s cdot t - 12 cdot 9,8 , m/s^2 cdot t^2
y(t) = 40,0 , m + 5,0 , m/s cdot t - 4,9 , m/s^2 cdot t^2

Passo 6

Agora, vamos descrever como serão os gráficos:
  1. Gráfico de ay vs t: Como a aceleração é constante ( -9,8 , m/s^2), esse gráfico será uma linha reta horizontal no valor -9,8 , m/s^2 ao longo de todo o tempo.
  2. Gráfico de vy vs t: A equação vy(t) = 5,0 - 9,8t representa uma reta com inclinação negativa. Começa em vy = 5,0 , m/s quando t = 0 e diminui linearmente à medida que o tempo aumenta.
  3. Gráfico de y vs t: A equação y(t) = 40,0 + 5,0t - 4,9t^2 é uma parábola que abre para baixo devido ao termo -4,9t^2. Isso significa que a posição inicialmente aumenta devido à velocidade positiva, mas depois começa a diminuir à medida que a aceleração da gravidade vence a velocidade inicial.

Passo 7

Para visualizar melhor, aqui estão os esboços simplificados dos gráficos:
  1. Aceleração vs Tempo ( ay times t)
    a_y
    ^
    |-------------------------------
    |                              
    |-------------------------------
    +------------------------------> t
          -9.8 m/s²
    
  2. Velocidade vs Tempo ( vy times t)
    v_y
    ^
    |\
    | \
    |  \
    |   \
    |    \
    |     \ 
    |      \
    |       \
    +------------------------------> t
         Inclinação -9,8 m/s²
    
  3. Posição vs Tempo ( y times t)
    y
    ^
    |       ***
    |      *   *
    |     *     *
    |    *       *
    |   *         *
    |  *           *
    | *             *
    |*               
    +------------------------------> t
         Parábola abrindo para baixo
    

Resposta

Fechando, os gráficos para o movimento do saco de areia são:
  1. Aceleração vs Tempo ( ay times t): Uma linha horizontal constante em -9,8 , m/s^2.
  2. Velocidade vs Tempo ( vy times t): Uma linha reta descendente começando em 5,0 , m/s e diminuindo com inclinação -9,8 , m/s^2.
  3. Posição vs Tempo ( y times t): Uma parábola que inicialmente aumenta e depois diminui, devido à aceleração da gravidade atuando contra a velocidade inicial.

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