Encontre
por derivação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente tem a equação
e precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas e a técnica de derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação:
Isso já está pronto para a gente aplicar a derivada em ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo da equação
. Aqui, temos um produto de duas funções:
e
. Para derivar produtos, usamos a regra do produto:
Aplicando isso:
Explicando, a derivada de
é
, e a derivada de
é
porque
é função de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação
. Novamente, temos um produto de duas funções:
e
. Aplicando a regra do produto:
Aqui, a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 5
Agora que derivamos ambos os lados, colocamos tudo junto:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Rearranjando:
Passo 7
Isolando
:
Simplificando os termos no numerador e denominador se possível.
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Um banco oferece juros anual
, em %, dependendo do tempo
, em anos, que o investidor esteja disposto a manter o investimento.
é dado por:
Calcule
Encontre a derivada das funções dadas usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Derive as funções por meio das regras de derivação já estudadas.