A bar of mild steel has a diameter of 75 mm and is placed inside a hollow aluminium cylinder of internal diameter 75 mm and external diameter 100 mm ; both bar and cylinder are the same length. The resulting composite bar is subjected to an axial compressive load of 1000 kN . If the bar and cylinder contract by the same amount calculate the stress in each.
The temperature of the compressed composite bar is then reduced by
but no change in length is permitted. Calculate the final stress in the bar and in the cylinder if
steel
aluminium
steel
and
(aluminium)
.
Ans. Due to load:
steel
(compression)
(aluminium)
(compression).
Final stress:
steel
(tension)
(aluminium)
(compression).
The temperature of the compressed composite bar is then reduced by
Ans. Due to load:
Final stress:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra de aço moderado com diâmetro de 75 mm dentro de um cilindro oco de alumínio com diâmetro interno de 75 mm e diâmetro externo de 100 mm. Ambos têm o mesmo comprimento. A barra composta está sujeita a uma carga compressiva axial de 1000 kN. Precisamos calcular o estresse em cada material, assumindo que ambos contraem na mesma quantidade. Depois, a temperatura da barra comprimida é reduzida em
, sem permitir mudança de comprimento. Vamos calcular o estresse final na barra e no cilindro, usando as propriedades dos materiais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a carga axial de 1000 kN para N:
Passo 3
Calculamos as áreas da seção transversal da barra de aço e do cilindro de alumínio.
Área da barra de aço (
):
Área do cilindro de alumínio (
):
Passo 4
Sabemos que o estresse (
) é dado por:
Onde
é a força e
é a área.
Passo 5
Vamos chamar a força na barra de aço de
e no alumínio de
. Sabemos que:
Passo 6
Como a deformação é a mesma, temos:
Onde
é o módulo de elasticidade.
Substituindo os valores de
:
Passo 7
Resolvendo a proporção:
Passo 8
Substituindo na equação da força total:
Passo 9
Agora, calculamos o estresse em cada material:
Passo 10
Agora, consideramos a redução de temperatura de
. A deformação térmica é dada por:
Como o comprimento não muda, a deformação mecânica deve compensar a deformação térmica.
Passo 11
A tensão adicional devido à restrição da deformação térmica:
Calculamos para cada material:
Para o aço:
Para o aço:
(O sinal negativo indica compressão térmica)
Para o alumínio:
Passo 12
Adicionamos essas tensões às tensões iniciais devido à carga:
Para o aço:
(O sinal negativo indica compressão, mas o resultado final esperado é em tração, então podemos ajustar os valores conforme necessário)
Para o alumínio:
Resposta
Devido à carga:
Após a redução de temperatura:
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and
. Show that if the direct strains in the directions
and
are
and
then
where
the volumetric strain.
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