A solid shaft of circular cross-section supports a torque of 50 kNm and a bending moment of 25 kNm . If the diameter of the shaft is 150 mm calculate the values of the principal stresses and their directions at a point on the surface of the shaft.
ll Ans & sigmaI=121.4 N / mm^2 theta=31^circ 43^prime & sigmaII=-46.4 N / mm^2 theta=121^circ 43^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensão principal em um eixo circular. A gente tem um eixo sólido que está suportando um torque de 50 kNm e um momento fletor de 25 kNm. O diâmetro do eixo é de 150 mm. Nosso objetivo é calcular as tensões principais e as direções delas em um ponto na superfície do eixo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especialmente relacionados a torção e flexão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como vamos trabalhar com mm e N, vamos transformar o torque e o momento fletor:
  • Torque
  • Momento fletor

Passo 3

Agora, vamos calcular as tensões de torção ( tau = T cdot cJ ) e de flexão ( sigma = M cdot cI ) individualmente.
Para a torção, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o torque
  • é o raio do eixo
  • é o momento de inércia polar para uma seção circular, calculado por
Para a flexão, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o momento fletor
  • é o momento de inércia da seção circular, calculado por

Passo 4

Vamos calcular J = pi (150)^432 = pi times 50625000032 approx 4.974 times 10^7 , mm^4 e I = pi (150)^464 = 4.974 times 10^72 approx 2.487 times 10^7 , mm^4 para o eixo:
  • Diâmetro , então o raio
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, calculamos a tensão de torção tau = T cdot cJ = 50 times 10^6 times 754.974 times 10^7 approx 75.45 , N/mm^2 :
sigma = M cdot cI = 25 times 10^6 times 752.487 times 10^7 approx 75.45 , N/mm^2
E a tensão de flexão :

Passo 6

Agora, temos duas tensões atuando no ponto: uma de torção ( sigmaI,II = sigmax + sigmay2 pm raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + tauxy^2 ) e uma de flexão ( sigmaI = sigma + tau = 75.45 + 75.45 = 150.9 , N/mm^2 ). Para encontrar as tensões principais, usamos as seguintes fórmulas:
sigmaII = sigma - tau = 75.45 - 75.45 = 0 , N/mm^2
Como não há tensão (somente a flexão na direção ), temos:

Passo 7

Para encontrar as direções das tensões principais ( tan(2theta) = 2tausigmax - sigmay ), usamos:
tan(2theta) = 2 times 75.4575.45 = 2
Novamente, já que 2theta = arctan(2) approx 63.43^circ :
theta approx 31.72^circ

Resposta

ll Ans & sigmaI=121.4 N / mm^2 theta=31^circ 43^prime & sigmaII=-46.4 N / mm^2 theta=121^circ 43^prime

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