A solid shaft of circular cross-section supports a torque of 50 kNm and a bending moment of 25 kNm . If the diameter of the shaft is 150 mm calculate the values of the principal stresses and their directions at a point on the surface of the shaft.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensão principal em um eixo circular. A gente tem um eixo sólido que está suportando um torque de 50 kNm e um momento fletor de 25 kNm. O diâmetro do eixo é de 150 mm. Nosso objetivo é calcular as tensões principais e as direções delas em um ponto na superfície do eixo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especialmente relacionados a torção e flexão.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como vamos trabalhar com mm e N, vamos transformar o torque e o momento fletor:
- Torque
- Momento fletor
Passo 3
Agora, vamos calcular as tensões de torção (
) e de flexão (
) individualmente.
Para a torção, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o torque -
é o raio do eixo -
é o momento de inércia polar para uma seção circular, calculado por
Para a flexão, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o momento fletor -
é o momento de inércia da seção circular, calculado por
Passo 4
Vamos calcular
e
para o eixo:
- Diâmetro
, então o raio
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculamos a tensão de torção
:
E a tensão de flexão
:
Passo 6
Agora, temos duas tensões atuando no ponto: uma de torção (
) e uma de flexão (
). Para encontrar as tensões principais, usamos as seguintes fórmulas:
Como não há tensão
(somente a flexão na direção
), temos:
Passo 7
Para encontrar as direções das tensões principais (
), usamos:
Novamente, já que
: