A solid shaft of circular cross-section supports a torque of 50 kNm and a bending moment of 25 kNm . If the diameter of the shaft is 150 mm calculate the values of the principal stresses and their directions at a point on the surface of the shaft.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre tensão principal em um eixo circular. A gente tem um eixo sólido que está suportando um torque de 50 kNm e um momento fletor de 25 kNm. O diâmetro do eixo é de 150 mm. Nosso objetivo é calcular as tensões principais e as direções delas em um ponto na superfície do eixo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especialmente relacionados a torção e flexão.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. Como vamos trabalhar com mm e N, vamos transformar o torque e o momento fletor:
  • Torque
  • Momento fletor

Passo 3

Agora, vamos calcular as tensões de torção ( ) e de flexão ( ) individualmente.
Para a torção, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o torque
  • é o raio do eixo
  • é o momento de inércia polar para uma seção circular, calculado por
Para a flexão, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o momento fletor
  • é o momento de inércia da seção circular, calculado por

Passo 4

Vamos calcular e para o eixo:
  • Diâmetro , então o raio
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, calculamos a tensão de torção :
E a tensão de flexão :

Passo 6

Agora, temos duas tensões atuando no ponto: uma de torção ( ) e uma de flexão ( ). Para encontrar as tensões principais, usamos as seguintes fórmulas:
Como não há tensão (somente a flexão na direção ), temos:

Passo 7

Para encontrar as direções das tensões principais ( ), usamos:
Novamente, já que :

Resposta

Exercícios relacionados

At a point in an elastic material there are two mutually perpendicular planes, one of which carries a direct tensile stress at and a shear stress of , while the other plane is subjected to a direct compressive stress of and a complementary shear stress of . Determine the principal stresses at the point, the position of the planes on which they act and the position of the planes on which there is no normal stress.
No normal stress on planes at and to vertical.
Show that the compatibility equation for the case of plane strain, viz.
may be expressed in terms of direct stresses and in the form
An element of an elastic body is subjected to a three-dimensional stress system and . Show that if the direct strains in the directions and are and then
where
the volumetric strain.
A bar of mild steel has a diameter of 75 mm and is placed inside a hollow aluminium cylinder of internal diameter 75 mm and external diameter 100 mm ; both bar and cylinder are the same length. The resulting composite bar is subjected to an axial compressive load of 1000 kN . If the bar and cylinder contract by the same amount calculate the stress in each.
The temperature of the compressed composite bar is then reduced by but no change in length is permitted. Calculate the final stress in the bar and in the cylinder if steel aluminium steel and (aluminium) .
Ans. Due to load: steel (compression)
(aluminium) (compression).
Final stress: steel (tension)
(aluminium) (compression).