An element of an elastic body is subjected to a three-dimensional stress system sigmax, sigmay and sigmaz. Show that if the direct strains in the directions x, y and z are varepsilonx, varepsilony and varepsilonz then
sigmax=lambda e+2 G varepsilonx sigmay=lambda e+2 G varepsilony sigmaz=lambda e+2 G varepsilonz
where
lambda=nu E(1+nu)(1-2 nu) and e=varepsilonx+varepsilony+varepsilonz
the volumetric strain.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre um corpo elástico que está sofrendo tensões em três direções: , e , representadas por , e . Nosso objetivo é mostrar que as tensões nessas direções estão relacionadas às deformações diretas , e por meio das fórmulas dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente a relação entre tensão e deformação em materiais elásticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um material elástico isotrópico (que tem as mesmas propriedades em todas as direções), as tensões e deformações estão relacionadas pelas Equações de Hooke generalizadas para três dimensões. Essas equações conectam as tensões ( sigmai = lambda e + 2 G varepsiloni para i = x, y, z ) com as deformações ( e = varepsilonx + varepsilony + varepsilonz ) usando dois parâmetros: o Módulo de Lamé e o Módulo de Cisalhamento .
A relação geral é dada por:
Aqui, é a deformação volumétrica, que é a soma das deformações diretas:

Passo 3

Vamos detalhar esses parâmetros. O parâmetro lambda = nu E(1+nu)(1-2nu) está relacionado à compressibilidade do material e é definido por:
onde é o Módulo de Young e é o Coeficiente de Poisson. Esses parâmetros caracterizam como o material responde a tensões e deformações.

Passo 4

Com essas definições, podemos aplicar as Equações de Hooke para cada direção. Para a direção sigmax = lambda e + 2 G varepsilonx , temos:
sigmay = lambda e + 2 G varepsilony
De maneira similar, para as direções sigmaz = lambda e + 2 G varepsilonz e :

Passo 5

Portanto, combinando tudo, mostramos que as tensões nas direções sigmax = lambda e + 2 G varepsilonx , sigmay = lambda e + 2 G varepsilony e sigmaz = lambda e + 2 G varepsilonz estão relacionadas às deformações diretas por meio das fórmulas fornecidas, utilizando os parâmetros e :

Resposta

As tensões nas direções sigmax = lambda e + 2 G varepsilonx , sigmay = lambda e + 2 G varepsilony e sigmaz = lambda e + 2 G varepsilonz estão dadas por:
lambda = nu E(1+nu)(1-2 nu) e e = varepsilonx + varepsilony + varepsilonz
onde:

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