An element of an elastic body is subjected to a three-dimensional stress system
and
. Show that if the direct strains in the directions
and
are
and
then
where
the volumetric strain.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão fala sobre um corpo elástico que está sofrendo tensões em três direções:
,
e
, representadas por
,
e
. Nosso objetivo é mostrar que as tensões nessas direções estão relacionadas às deformações diretas
,
e
por meio das fórmulas dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente a relação entre tensão e deformação em materiais elásticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um material elástico isotrópico (que tem as mesmas propriedades em todas as direções), as tensões e deformações estão relacionadas pelas Equações de Hooke generalizadas para três dimensões. Essas equações conectam as tensões (
) com as deformações (
) usando dois parâmetros: o Módulo de Lamé
e o Módulo de Cisalhamento
.
A relação geral é dada por:
Aqui,
é a deformação volumétrica, que é a soma das deformações diretas:
Passo 3
Vamos detalhar esses parâmetros. O parâmetro
está relacionado à compressibilidade do material e é definido por:
onde
é o Módulo de Young e
é o Coeficiente de Poisson. Esses parâmetros caracterizam como o material responde a tensões e deformações.
Passo 4
Com essas definições, podemos aplicar as Equações de Hooke para cada direção. Para a direção
, temos:
De maneira similar, para as direções
e
:
Passo 5
Portanto, combinando tudo, mostramos que as tensões nas direções
,
e
estão relacionadas às deformações diretas por meio das fórmulas fornecidas, utilizando os parâmetros
e
:
Resposta
As tensões nas direções
,
e
estão dadas por:
onde: