De um baralho padrão com 52 cartas, tiramos uma mão com 5 cartas. Quantas mãos distintas são possíveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir quantas mãos diferentes de 5 cartas podemos formar a partir de um baralho padrão de 52 cartas. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidades e Combinatória, e para resolver, vamos precisar usar combinações, que nos ajudam a contar de quantas maneiras podemos selecionar itens sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são combinações. Combinação é uma maneira de selecionar itens de um grupo sem se importar com a ordem em que eles são escolhidos. Por exemplo, pegar as cartas A, B, C, D, E é a mesma mão que pegar E, D, C, B, A.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Onde:
  • é o fatorial de (produto de todos os números de 1 até ),
  • é o número de itens que queremos escolher,
  • representa o número de combinações possíveis.

Passo 4

No nosso caso:
  • C(52, 5) = 52!5! times (52 - 5)! = 52!5! times 47! (total de cartas no baralho),
  • (número de cartas na mão).
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa expressão. Como C(52, 5) = 52 times 51 times 50 times 49 times 485! , podemos cancelar o C(52, 5) = 311,875,200120 = 2,598,960 no numerador e denominador:
E sabemos que , então:

Resposta

Existem 2.598.960 mãos distintas possíveis quando tiramos 5 cartas de um baralho padrão de 52 cartas.

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