Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma situação onde uma barata com massa está na borda de um disco com massa e raio . Ambos estão girando juntos com uma velocidade angular inicial . A barata decide caminhar até a metade da distância para o centro do disco. Nosso objetivo aqui é mostrar que o momento de inércia do disco é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( ) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para objetos rígidos girando em torno de um eixo, quanto mais massa estiver distante do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Inicialmente, tanto a barata quanto o disco estão girando juntos com velocidade angular . O momento de inércia total do sistema inicialmente é a soma do momento de inércia do disco e da barata na borda:
Aqui, é o momento de inércia do disco que queremos encontrar.

Passo 4

Quando a barata caminha até a metade da distância ao centro, ela está agora a uma distância de do centro. O novo momento de inércia do sistema será:

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação do momento angular, que nos diz que, na ausência de torques externos, o momento angular total do sistema permanece constante. Assim:

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:

Passo 7

Para resolver essa equação, precisamos expressar em termos de . Rearranjando a equação:

Passo 8

Sabemos que, geralmente, quando algo como a barata se move para mais perto do centro, a velocidade angular aumenta para conservar o momento angular (menos momento de inércia, mais velocidade). Mas vamos focar apenas na relação para encontrar .

Passo 9

Sabemos também que o momento de inércia de um disco uniforme girando em torno de seu centro é dado por:
Onde é a massa do disco. No nosso caso, , então:

Passo 10

Portanto, mostramos que o momento de inércia do disco é igual a .

Resposta

O momento de inércia do disco é igual a .

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A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância .
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância , partindo do repouso.
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?