Uma barata de massa m encontra-se sobre a borda de um disco de massa 4 m que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a r e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular omega0. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a 2 m r^2.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma situação onde uma barata com massa m está na borda de um disco com massa 4m e raio r. Ambos estão girando juntos com uma velocidade angular inicial omega0. A barata decide caminhar até a metade da distância para o centro do disco. Nosso objetivo aqui é mostrar que o momento de inércia do disco é igual a 2 m r^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia ( I) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para objetos rígidos girando em torno de um eixo, quanto mais massa estiver distante do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Inicialmente, tanto a barata quanto o disco estão girando juntos com velocidade angular omega0. O momento de inércia total do sistema inicialmente é a soma do momento de inércia do disco e da barata na borda:
Iinicial = Idisco + m r^2
Aqui, Idisco é o momento de inércia do disco que queremos encontrar.

Passo 4

Quando a barata caminha até a metade da distância ao centro, ela está agora a uma distância de r2 do centro. O novo momento de inércia do sistema será:
Ifinal = Idisco + m (r2)^2 = Idisco + m r^24

Passo 5

Agora, aplicamos a conservação do momento angular, que nos diz que, na ausência de torques externos, o momento angular total do sistema permanece constante. Assim:
Iinicial omega0 = Ifinal omegafinal

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:
(Idisco + m r^2) omega0 = (Idisco + m r^24) omegafinal

Passo 7

Para resolver essa equação, precisamos expressar omegafinal em termos de omega0. Rearranjando a equação:
omegafinal = (Idisco + m r^2) omega0Idisco + m r^24

Passo 8

Sabemos que, geralmente, quando algo como a barata se move para mais perto do centro, a velocidade angular aumenta para conservar o momento angular (menos momento de inércia, mais velocidade). Mas vamos focar apenas na relação para encontrar Idisco.

Passo 9

Sabemos também que o momento de inércia de um disco uniforme girando em torno de seu centro é dado por:
Idisco = 12 M r^2
Onde M é a massa do disco. No nosso caso, M = 4m, então:
Idisco = 12 times 4m times r^2 = 2 m r^2

Passo 10

Portanto, mostramos que o momento de inércia do disco é igual a 2 m r^2.

Resposta

O momento de inércia do disco é igual a 2 m r^2.

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