Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma situação onde uma barata com massa
está na borda de um disco com massa
e raio
. Ambos estão girando juntos com uma velocidade angular inicial
. A barata decide caminhar até a metade da distância para o centro do disco. Nosso objetivo aqui é mostrar que o momento de inércia do disco é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para objetos rígidos girando em torno de um eixo, quanto mais massa estiver distante do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
Inicialmente, tanto a barata quanto o disco estão girando juntos com velocidade angular
. O momento de inércia total do sistema inicialmente é a soma do momento de inércia do disco e da barata na borda:
Aqui,
é o momento de inércia do disco que queremos encontrar.
Passo 4
Quando a barata caminha até a metade da distância ao centro, ela está agora a uma distância de
do centro. O novo momento de inércia do sistema será:
Passo 5
Agora, aplicamos a conservação do momento angular, que nos diz que, na ausência de torques externos, o momento angular total do sistema permanece constante. Assim:
Passo 6
Substituindo os valores que já temos:
Passo 7
Para resolver essa equação, precisamos expressar
em termos de
. Rearranjando a equação:
Passo 8
Sabemos que, geralmente, quando algo como a barata se move para mais perto do centro, a velocidade angular aumenta para conservar o momento angular (menos momento de inércia, mais velocidade). Mas vamos focar apenas na relação para encontrar
.
Passo 9
Sabemos também que o momento de inércia de um disco uniforme girando em torno de seu centro é dado por:
Onde
é a massa do disco. No nosso caso,
, então:
Passo 10
Portanto, mostramos que o momento de inércia do disco é igual a
.
Resposta
O momento de inércia do disco é igual a
.
Exercícios relacionados
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância
.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância
, partindo do repouso.
Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?