A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância , partindo do repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um ioiô com massa , raio , e momento de inércia . Ele está apoiado em uma superfície com atrito e é puxado por uma força horizontal constante através de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , onde . Queremos descobrir a energia cinética de rotação do ioiô depois que ele percorre uma distância , começando do repouso.
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente dinâmica de rotação e energia cinética. Para resolver isso, precisamos relacionar a força aplicada com o movimento de rotação e a energia envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando o ioiô é puxado pela força , ele não apenas se move linearmente, mas também gira. Como não há escorregamento entre o ioiô e a superfície, a condição de rolamento sem deslizamento se aplica, ou seja:
onde é a velocidade linear do centro de massa e é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que a energia cinética total do ioiô será a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Mas como queremos apenas a energia cinética de rotação, vamos focar nessa parte.
A energia cinética de rotação é dada por:
Nossa meta é encontrar em termos das outras variáveis fornecidas.

Passo 4

Vamos relacionar a distância percorrida com o trabalho realizado pela força . O trabalho ( ) é dado por:
Esse trabalho será convertido em energia cinética total do ioiô. Como o ioiô parte do repouso, podemos igualar o trabalho à energia cinética total:

Passo 5

Lembrando da condição de rolamento sem deslizamento ( ), podemos substituir por na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos isolar para encontrar a energia cinética de rotação. Vamos rearranjar a equação:

Passo 7

Substituindo na fórmula da energia cinética de rotação:

Passo 8

Como , podemos expressar em termos de se necessário, mas para essa solução, podemos deixar a expressão em termos de e os demais parâmetros fornecidos.

Resposta

A energia cinética de rotação do ioiô após percorrer a distância é:

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A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o momento de inércia do ioiô e sua aceleração angular em relação ao mesmo ponto de contacto. Encontre a aceleração linear do centro de massa do ioiô.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o torque resultante sobre o ioiô em relação ao seu ponto de contacto com o piso (marcado com um na figura) em termos de , e (o coeficiente de atrito estático não é conhecido).
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância .
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a .