A figura ao lado mostra um ioiô de massa M, raio R e momento de inércia I em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força F horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio r (R=3 r), sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância d, partindo do repouso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um ioiô com massa M, raio R, e momento de inércia I. Ele está apoiado em uma superfície com atrito e é puxado por uma força horizontal constante F através de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio r, onde R = 3r. Queremos descobrir a energia cinética de rotação do ioiô depois que ele percorre uma distância d, começando do repouso.
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente dinâmica de rotação e energia cinética. Para resolver isso, precisamos relacionar a força aplicada com o movimento de rotação e a energia envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando o ioiô é puxado pela força F, ele não apenas se move linearmente, mas também gira. Como não há escorregamento entre o ioiô e a superfície, a condição de rolamento sem deslizamento se aplica, ou seja:
v = omega cdot R
onde v é a velocidade linear do centro de massa e omega é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que a energia cinética total do ioiô será a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. Mas como queremos apenas a energia cinética de rotação, vamos focar nessa parte.
A energia cinética de rotação é dada por:
Erot = 12 I omega^2
Nossa meta é encontrar Erot em termos das outras variáveis fornecidas.

Passo 4

Vamos relacionar a distância d percorrida com o trabalho realizado pela força F. O trabalho ( W) é dado por:
W = F cdot d
Esse trabalho será convertido em energia cinética total do ioiô. Como o ioiô parte do repouso, podemos igualar o trabalho à energia cinética total:
F cdot d = 12 M v^2 + 12 I omega^2

Passo 5

Lembrando da condição de rolamento sem deslizamento ( v = omega cdot R), podemos substituir v por omega cdot R na equação:
F cdot d = 12 M (omega R)^2 + 12 I omega^2
Simplificando:
F cdot d = 12 M R^2 omega^2 + 12 I omega^2
F cdot d = 12 omega^2 (M R^2 + I)

Passo 6

Agora, queremos isolar omega^2 para encontrar a energia cinética de rotação. Vamos rearranjar a equação:
omega^2 = 2 F dM R^2 + I

Passo 7

Substituindo omega^2 na fórmula da energia cinética de rotação:
Erot = 12 I cdot 2 F dM R^2 + I = I F dM R^2 + I

Passo 8

Como R = 3r, podemos expressar R em termos de r se necessário, mas para essa solução, podemos deixar a expressão em termos de R e os demais parâmetros fornecidos.

Resposta

A energia cinética de rotação do ioiô após percorrer a distância d é:
Erot = I F dM R^2 + I

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