Uma barata de massa m encontra-se sobre a borda de um disco de massa 4 m que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a r e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular omega0. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma barata com massa em cima de um disco com massa e raio , que pode girar livremente como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então anda até a metade da distância ao centro do disco. A pergunta é: o que causa essa variação na energia cinética?
Matéria envolvida: Rotação de corpos rígidos, momento de inércia, e conservação do momento angular.
O que precisamos: Entender como o movimento da barata afeta o momento de inércia do sistema e, consequentemente, a energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema (barata + disco) quando a barata está na borda do disco.
O momento de inércia do disco de massa Idisco = 12 times 4m times r^2 = 2m r^2 e raio Ibarata inicial = m r^2 com distribuição de massa uniforme é:
Iinicial = Idisco + Ibarata inicial = 2m r^2 + m r^2 = 3m r^2
O momento de inércia da barata na borda do disco é:
Então, o momento de inércia total inicial é:

Passo 3

Agora, quando a barata anda até a metade da distância ao centro, ela está a uma distância de Ibarata final = m ( r2 )^2 = m r^24 do centro. Vamos calcular o novo momento de inércia da barata:
Idisco = 2m r^2
O momento de inércia do disco permanece o mesmo, já que ele não mudou:
Ifinal = 2m r^2 + m r^24 = 2m r^2 + 0,25m r^2 = 2,25m r^2
Então, o momento de inércia total final é:

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o momento angular Linicial = Lfinal é conservado porque não há torque externo agindo no sistema. Então:
Iinicial omega0 = Ifinal omegaf
Sabemos que 3m r^2 omega0 = 2,25m r^2 omegaf , então:
3 omega0 = 2,25 omegaf
Substituindo os valores:
omegaf = 32,25 omega0 = 43 omega0 approx 1,333 omega0
Podemos cancelar de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial e final para ver a variação.
A energia cinética de rotação é dada por:
K = 12 I omega^2
Energia cinética inicial:
Kinicial = 12 times 3m r^2 times omega0^2 = 32 m r^2 omega0^2
Energia cinética final:
Kfinal = 12 times 2,25m r^2 times ( 43 omega0 )^2 = 12 times 2,25m r^2 times 169 omega0^2 = 12 times 4m r^2 omega0^2 = 2m r^2 omega0^2

Passo 6

A variação na energia cinética é:
De

Resposta

A variação na energia cinética é causada pela redução do momento de inércia do sistema quando a barata caminha em direção ao centro, o que, mantendo o momento angular constante, aumenta a velocidade angular e, consequentemente, aumenta a energia cinética.

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