Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma barata com massa
em cima de um disco com massa
e raio
, que pode girar livremente como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então anda até a metade da distância ao centro do disco. A pergunta é: o que causa essa variação na energia cinética?
Matéria envolvida: Rotação de corpos rígidos, momento de inércia, e conservação do momento angular.
O que precisamos: Entender como o movimento da barata afeta o momento de inércia do sistema e, consequentemente, a energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema (barata + disco) quando a barata está na borda do disco.
O momento de inércia do disco de massa
e raio
com distribuição de massa uniforme é:
O momento de inércia da barata na borda do disco é:
Então, o momento de inércia total inicial é:
Passo 3
Agora, quando a barata anda até a metade da distância ao centro, ela está a uma distância de
do centro. Vamos calcular o novo momento de inércia da barata:
O momento de inércia do disco permanece o mesmo, já que ele não mudou:
Então, o momento de inércia total final é:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que o momento angular
é conservado porque não há torque externo agindo no sistema. Então:
Sabemos que
, então:
Substituindo os valores:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial e final para ver a variação.
A energia cinética de rotação é dada por:
Energia cinética inicial:
Energia cinética final:
Passo 6
A variação na energia cinética é:
Resposta
A variação na energia cinética é causada pela redução do momento de inércia do sistema quando a barata caminha em direção ao centro, o que, mantendo o momento angular constante, aumenta a velocidade angular e, consequentemente, aumenta a energia cinética.