Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma barata com massa em cima de um disco com massa e raio , que pode girar livremente como um carrossel. Inicialmente, a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então anda até a metade da distância ao centro do disco. A pergunta é: o que causa essa variação na energia cinética?
Matéria envolvida: Rotação de corpos rígidos, momento de inércia, e conservação do momento angular.
O que precisamos: Entender como o movimento da barata afeta o momento de inércia do sistema e, consequentemente, a energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia inicial do sistema (barata + disco) quando a barata está na borda do disco.
O momento de inércia do disco de massa e raio com distribuição de massa uniforme é:
O momento de inércia da barata na borda do disco é:
Então, o momento de inércia total inicial é:

Passo 3

Agora, quando a barata anda até a metade da distância ao centro, ela está a uma distância de do centro. Vamos calcular o novo momento de inércia da barata:
O momento de inércia do disco permanece o mesmo, já que ele não mudou:
Então, o momento de inércia total final é:

Passo 4

Agora, vamos lembrar que o momento angular é conservado porque não há torque externo agindo no sistema. Então:
Sabemos que , então:
Substituindo os valores:
Podemos cancelar de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial e final para ver a variação.
A energia cinética de rotação é dada por:
Energia cinética inicial:
Energia cinética final:

Passo 6

A variação na energia cinética é:

Resposta

A variação na energia cinética é causada pela redução do momento de inércia do sistema quando a barata caminha em direção ao centro, o que, mantendo o momento angular constante, aumenta a velocidade angular e, consequentemente, aumenta a energia cinética.

Exercícios relacionados

Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a .
Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a .
Um esquiador de massa é puxado por cabo conduzido por um motor.
(a) Quanto trabalho é necessário para puxá-lo a uma distância de em um plano inclinado com uma inclinação de 30,0° (presumivelmente sem atrito) a uma velocidade constante de ?
(b) Qual é a potência necessária para realizar esta tarefa?