A figura ao lado mostra um ioiô de massa M, raio R e momento de inércia I em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força F horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio r (R=3 r), sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância d.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um ioiô com massa M, raio R e momento de inércia I. Ele está descansando sobre uma superfície plana com atrito. Uma força constante F está puxando o ioiô através de um fio envolvido em torno do eixo com raio r, onde R = 3r. A gente precisa descobrir o trabalho total feito no ioiô desde que ele estava parado até quando o centro de massa dele percorreu uma distância d.
Para resolver essa questão, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e trabalho mecânico. Precisaremos entender como a força F faz o ioiô se mover e girar sem escorregar, aplicando as fórmulas de trabalho e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo no ioiô. Temos a força de tração F puxando o fio, a força de atrito f que impede o escorregamento, o peso Mg puxando para baixo e a força normal N da superfície empurrando para cima. Como o ioiô não está acelerando verticalmente, a força normal N é igual ao peso menos a componente da força vertical, mas como a força F é horizontal, N = Mg.

Passo 3

Como o ioiô está rolando sem escorregar, a velocidade do centro de massa v e a velocidade angular omega estão relacionadas pela condição de rolamento:
v = omega R
Essa relação nos ajuda a conectar a translação (movimento para frente) com a rotação do ioiô.

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton para a translação. A força resultante na direção horizontal é:
F - f = Ma
onde a é a aceleração do centro de massa.

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para a rotação. O torque causado pela força F é:
tau = F cdot r
E o torque devido à força de atrito é:
tauf = f cdot R
Então, a equação de rotação fica:
F cdot r - f cdot R = I cdot alpha
onde alpha é a aceleração angular.

Passo 6

Sabemos que alpha = aR pela condição de rolamento. Substituindo na equação de rotação:
F cdot r - f cdot R = I cdot aR
Como R = 3r, podemos substituir:
F cdot r - f cdot 3r = I cdot a3r

Passo 7

Agora, temos duas equações:
  1. F - f = Ma
  2. F cdot r - 3r cdot f = I a3r
Vamos resolver o sistema para encontrar f em termos de F, M, R, I.

Passo 8

Da primeira equação: f = F - Ma
Substituímos na segunda equação:
F cdot r - 3r(F - Ma) = I a3r
Simplificando:
F r - 3 F r + 3 M a r = I a3 r
-2 F r + 3 M a r = I a3 r

Passo 9

Isolando a, vamos fatorar:
-2 F r = a ( I3 r - 3 M r )
a = -2 F rI3 r - 3 M r = 2 F r3 M r - I3 r

Passo 10

Agora, vamos calcular o trabalho total realizado. O trabalho é a força vezes a distância na direção da força. Temos duas contribuições principais: o trabalho da força F e o trabalho da força de atrito f.
O trabalho total W é:
W = F d - f d

Passo 11

Substituindo f = F - Ma na expressão do trabalho:
W = F d - (F - Ma) d = Ma d

Passo 12

Agora, substituímos a da Passo 9:
W = M d cdot 2 F r3 M r - I3 r = 2 M F r d3 M r - I3 r

Resposta

O trabalho total realizado sobre o ioiô é:
W = 2 M F r d3 M r - I3 r

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