A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um ioiô com massa , raio e momento de inércia . Ele está descansando sobre uma superfície plana com atrito. Uma força constante está puxando o ioiô através de um fio envolvido em torno do eixo com raio , onde . A gente precisa descobrir o trabalho total feito no ioiô desde que ele estava parado até quando o centro de massa dele percorreu uma distância .
Para resolver essa questão, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e trabalho mecânico. Precisaremos entender como a força faz o ioiô se mover e girar sem escorregar, aplicando as fórmulas de trabalho e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças agindo no ioiô. Temos a força de tração puxando o fio, a força de atrito que impede o escorregamento, o peso puxando para baixo e a força normal da superfície empurrando para cima. Como o ioiô não está acelerando verticalmente, a força normal é igual ao peso menos a componente da força vertical, mas como a força é horizontal, .

Passo 3

Como o ioiô está rolando sem escorregar, a velocidade do centro de massa e a velocidade angular estão relacionadas pela condição de rolamento:
Essa relação nos ajuda a conectar a translação (movimento para frente) com a rotação do ioiô.

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton para a translação. A força resultante na direção horizontal é:
onde é a aceleração do centro de massa.

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para a rotação. O torque causado pela força é:
E o torque devido à força de atrito é:
Então, a equação de rotação fica:
onde é a aceleração angular.

Passo 6

Sabemos que pela condição de rolamento. Substituindo na equação de rotação:
Como , podemos substituir:

Passo 7

Agora, temos duas equações:
Vamos resolver o sistema para encontrar em termos de , , , .

Passo 8

Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:

Passo 9

Isolando , vamos fatorar:

Passo 10

Agora, vamos calcular o trabalho total realizado. O trabalho é a força vezes a distância na direção da força. Temos duas contribuições principais: o trabalho da força e o trabalho da força de atrito .
O trabalho total é:

Passo 11

Substituindo na expressão do trabalho:

Passo 12

Agora, substituímos da Passo 9:

Resposta

O trabalho total realizado sobre o ioiô é:

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A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância , partindo do repouso.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o momento de inércia do ioiô e sua aceleração angular em relação ao mesmo ponto de contacto. Encontre a aceleração linear do centro de massa do ioiô.
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a .
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?