A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um ioiô com massa
, raio
e momento de inércia
. Ele está descansando sobre uma superfície plana com atrito. Uma força constante
está puxando o ioiô através de um fio envolvido em torno do eixo com raio
, onde
. A gente precisa descobrir o trabalho total feito no ioiô desde que ele estava parado até quando o centro de massa dele percorreu uma distância
.
Para resolver essa questão, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e trabalho mecânico. Precisaremos entender como a força
faz o ioiô se mover e girar sem escorregar, aplicando as fórmulas de trabalho e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças agindo no ioiô. Temos a força de tração
puxando o fio, a força de atrito
que impede o escorregamento, o peso
puxando para baixo e a força normal
da superfície empurrando para cima. Como o ioiô não está acelerando verticalmente, a força normal
é igual ao peso menos a componente da força vertical, mas como a força
é horizontal,
.
Passo 3
Como o ioiô está rolando sem escorregar, a velocidade do centro de massa
e a velocidade angular
estão relacionadas pela condição de rolamento:
Essa relação nos ajuda a conectar a translação (movimento para frente) com a rotação do ioiô.
Passo 4
Vamos usar a segunda lei de Newton para a translação. A força resultante na direção horizontal é:
onde
é a aceleração do centro de massa.
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para a rotação. O torque causado pela força
é:
E o torque devido à força de atrito é:
Então, a equação de rotação fica:
onde
é a aceleração angular.
Passo 6
Sabemos que
pela condição de rolamento. Substituindo na equação de rotação:
Como
, podemos substituir:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver o sistema para encontrar
em termos de
,
,
,
.
Passo 8
Da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Passo 9
Isolando
, vamos fatorar:
Passo 10
Agora, vamos calcular o trabalho total realizado. O trabalho é a força vezes a distância na direção da força. Temos duas contribuições principais: o trabalho da força
e o trabalho da força de atrito
.
O trabalho total
é:
Passo 11
Substituindo
na expressão do trabalho:
Passo 12
Agora, substituímos
da Passo 9:
Resposta
O trabalho total realizado sobre o ioiô é:
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A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre a energia cinética de rotação do ioiô após seu centro de massa percorrer uma distância
, partindo do repouso.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o momento de inércia do ioiô e sua aceleração angular em relação ao mesmo ponto de contacto. Encontre a aceleração linear do centro de massa do ioiô.
Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a
.
Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?