Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barata de massa sobre a borda de um disco com massa e raio . Esse disco pode girar livremente como um carrossel e, inicialmente, a barata e o disco estão girando juntos com uma velocidade angular . A pergunta é: qual é o momento angular inicial desse sistema?
Vamos trabalhar com conceitos de momentos de inércia e momento angular. Para resolver isso, precisamos calcular o momento de inércia do disco e da barata e depois usar a fórmula do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu centro, o momento de inércia é dado por:
Onde é a massa do disco e é o raio. No nosso caso, e . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia da barata. A barata pode ser considerada como uma partícula de massa localizada a uma distância do centro. O momento de inércia é:

Passo 4

Para encontrar o momento de inércia total do sistema (disco + barata), somamos os momentos de inércia individuais:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do momento angular , que é o produto do momento de inércia pelo velocidade angular:
Aqui, é a velocidade angular inicial . Então:

Resposta

O momento angular inicial do sistema barata-disco é:

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Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Mostre que o momento de inércia do disco em questão é igual a .
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o trabalho total realizado sobre o ioiô desde seu ponto de partida (quando estava em repouso) até o momento em que seu centro de massa percorreu uma distância .
Uma barata de massa encontra-se sobre a borda de um disco de massa que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular . A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. O que é responsável por essa variação na energia cinética?
Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a .