Uma barata de massa m encontra-se sobre a borda de um disco de massa 4 m que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a r e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular omega0. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barata de massa sobre a borda de um disco com massa e raio . Esse disco pode girar livremente como um carrossel e, inicialmente, a barata e o disco estão girando juntos com uma velocidade angular . A pergunta é: qual é o momento angular inicial desse sistema?
Vamos trabalhar com conceitos de momentos de inércia e momento angular. Para resolver isso, precisamos calcular o momento de inércia do disco e da barata e depois usar a fórmula do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu centro, o momento de inércia Idisco = 12 M R^2 é dado por:
Idisco = 12 times 4m times r^2 = 2m r^2
Onde é a massa do disco e é o raio. No nosso caso, e . Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia da barata. A barata pode ser considerada como uma partícula de massa Ibarata = m r^2 localizada a uma distância do centro. O momento de inércia é:

Passo 4

Para encontrar o momento de inércia total do sistema (disco + barata), somamos os momentos de inércia individuais:
Itotal = Idisco + Ibarata = 2m r^2 + m r^2 = 3m r^2

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do momento angular L = I omega , que é o produto do momento de inércia pelo velocidade angular:
Linicial = Itotal times omega0 = 3m r^2 omega0
Aqui, é a velocidade angular inicial . Então:

Resposta

O momento angular inicial do sistema barata-disco é:
Linicial = 3m r^2 omega0

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