Uma barata de massa
encontra-se sobre a borda de um disco de massa
que pode girar livremente em torno do seu centro como um carrossel. O disco tem raio igual a
e uma distribuição de massa uniforme. Inicialmente a barata e o disco giram juntos com uma velocidade angular
. A barata então caminha até a metade da distância ao centro do disco. Qual é o momento angular inicial do sistema barata-disco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma barata de massa
sobre a borda de um disco com massa
e raio
. Esse disco pode girar livremente como um carrossel e, inicialmente, a barata e o disco estão girando juntos com uma velocidade angular
. A pergunta é: qual é o momento angular inicial desse sistema?
Vamos trabalhar com conceitos de momentos de inércia e momento angular. Para resolver isso, precisamos calcular o momento de inércia do disco e da barata e depois usar a fórmula do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do disco. Para um disco uniforme girando em torno do seu centro, o momento de inércia
é dado por:
Onde
é a massa do disco e
é o raio. No nosso caso,
e
. Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia da barata. A barata pode ser considerada como uma partícula de massa
localizada a uma distância
do centro. O momento de inércia
é:
Passo 4
Para encontrar o momento de inércia total do sistema (disco + barata), somamos os momentos de inércia individuais:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do momento angular
, que é o produto do momento de inércia pelo velocidade angular:
Aqui,
é a velocidade angular inicial
. Então:
Resposta
O momento angular inicial do sistema barata-disco é: