Duas crianças, cada uma com massa M, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento L e massa também M. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a Ib=M L^2 / 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Física envolvendo o momento de inércia. O enunciado diz que duas crianças, cada uma com massa M, estão nos extremos de uma barra também com massa M e comprimento L. A barra está suspensa no centro e pode girar livremente. A gente precisa mostrar que o momento de inércia da barra, sem considerar as crianças, em relação ao eixo vertical é igual a Ib = M L^212. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para uma barra uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto tem para mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Basicamente, quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar.

Passo 3

Para uma barra uniforme, o momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. No nosso caso, a barra tem massa M e comprimento L, e o eixo está no centro da barra, perpendicular a ela.

Passo 4

A fórmula geral para o momento de inércia ( I) de um objeto contínuo em relação a um eixo é dada por:
I = integral r^2 , dm
Onde:
  • r é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação.

Passo 5

Para a barra, podemos considerar que a massa está distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Então, a densidade linear de massa ( lambda) é:
lambda = ML

Passo 6

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o eixo de rotação está no centro da barra (posição x = 0), e a barra se estende de x = -L2 a x = L2. Assim, um pequeno elemento de massa dm em uma posição x é:
dm = lambda , dx = ML , dx

Passo 7

Substituindo dm na fórmula do momento de inércia, temos:
I = integral-L2^L2 x^2 cdot ML , dx = ML integral-L2^L2 x^2 , dx

Passo 8

Calculando a integral:
integral-L2^L2 x^2 , dx = [ x^33 ]-L2^L2 = (L2)^33 - (-L2)^33 = L^324 - (-L^324) = L^312

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do momento de inércia:
I = ML cdot L^312 = M L^212

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical é Ib = M L^212.

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