Duas crianças, cada uma com massa , sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento e massa também . A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Física envolvendo o momento de inércia. O enunciado diz que duas crianças, cada uma com massa , estão nos extremos de uma barra também com massa e comprimento . A barra está suspensa no centro e pode girar livremente. A gente precisa mostrar que o momento de inércia da barra, sem considerar as crianças, em relação ao eixo vertical é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para uma barra uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto tem para mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Basicamente, quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar.

Passo 3

Para uma barra uniforme, o momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. No nosso caso, a barra tem massa e comprimento , e o eixo está no centro da barra, perpendicular a ela.

Passo 4

A fórmula geral para o momento de inércia ( ) de um objeto contínuo em relação a um eixo é dada por:
Onde:
  • é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 5

Para a barra, podemos considerar que a massa está distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Então, a densidade linear de massa ( ) é:

Passo 6

Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o eixo de rotação está no centro da barra (posição ), e a barra se estende de a . Assim, um pequeno elemento de massa em uma posição é:

Passo 7

Substituindo na fórmula do momento de inércia, temos:

Passo 8

Calculando a integral:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão do momento de inércia:

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical é .

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