Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Mostre que o momento de inércia da barra (sem as crianças) em relação ao eixo vertical é igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Física envolvendo o momento de inércia. O enunciado diz que duas crianças, cada uma com massa
, estão nos extremos de uma barra também com massa
e comprimento
. A barra está suspensa no centro e pode girar livremente. A gente precisa mostrar que o momento de inércia da barra, sem considerar as crianças, em relação ao eixo vertical é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para uma barra uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto tem para mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Basicamente, quanto maior o momento de inércia, mais difícil é fazer o objeto girar.
Passo 3
Para uma barra uniforme, o momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. No nosso caso, a barra tem massa
e comprimento
, e o eixo está no centro da barra, perpendicular a ela.
Passo 4
A fórmula geral para o momento de inércia (
) de um objeto contínuo em relação a um eixo é dada por:
Onde:
-
é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.
Passo 5
Para a barra, podemos considerar que a massa está distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Então, a densidade linear de massa (
) é:
Passo 6
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde o eixo de rotação está no centro da barra (posição
), e a barra se estende de
a
. Assim, um pequeno elemento de massa
em uma posição
é:
Passo 7
Substituindo
na fórmula do momento de inércia, temos:
Passo 8
Calculando a integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão do momento de inércia:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical é
.