Uma barata de massa mestá sobre um disco de vinil de massa 6,0 m e raio R. 0 disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a 1,50 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância r=0,80 R do centro do disco, mas rasteja a té a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a sua velocidade angular ao chegar à borda do disco? Saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por I=(1 / 2) W R^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de vinil com massa e raio que está girando com uma velocidade angular inicial . Uma barata, que vamos tratar como uma partícula com massa , está inicialmente a uma distância do centro do disco e rasteja até a borda. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular do disco quando a barata chegar à borda. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular ( Li = Lf ) de um sistema sem torque externo é constante. Ou seja, o momento angular inicial ( ) é igual ao momento angular final ( ):

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento angular inicial. O momento angular de um objeto em rotação é dado por:
L = I cdot omega
onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia inicial ( Ii = Idisco + Ibarata inicial ) do sistema composto pelo disco e pela barata na posição inicial:
Idisco = 12 M R^2
Sabemos que o momento de inércia de um disco é:
Ibarata inicial = m ri^2 = m (0,80R)^2 = 0,64 m R^2
E o momento de inércia da barata tratada como partícula é:
Ii = 12 M R^2 + 0,64 m R^2
Portanto:

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular o momento de inércia final ( If = Idisco + Ibarata final ) quando a barata chega à borda do disco ( Ibarata final = m rf^2 = m R^2 ):
If = 12 M R^2 + m R^2
Então:

Passo 6

Aplicando a conservação do momento angular:
Ii cdot omegai = If cdot omegaf
Substituindo os valores de ( 12 M R^2 + 0,64 m R^2 ) cdot omegai = ( 12 M R^2 + m R^2 ) cdot omegaf e :

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por ( 12 M + 0,64 m ) cdot omegai = ( 12 M + m ) cdot omegaf :

Passo 8

Isolando omegaf = ( 12 M + 0,64 m ) ( 12 M + m ) cdot omegai :

Passo 9

Agora, substituímos os valores conhecidos. Sabemos que omegaf = ( 12 cdot 6,0 + 0,64 m ) ( 12 cdot 6,0 + m ) cdot 1,50 e omegaf = ( 3,0 + 0,64 m ) ( 3,0 + m ) cdot 1,50 , rad/s . A massa da barata não foi fornecida, então vamos deixar a resposta em termos de :

Resposta

A velocidade angular do disco quando a barata chega à borda é:
omegaf = 3,0 + 0,64,m3,0 + m times 1,50 , rad/s

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(a) O momento de inércia I da polia;
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