Uma barata de massa mestá sobre um disco de vinil de massa
e raio R. 0 disco gira em torno de um eixo central, com velocidade angular igual a 1,50 rad/s. A barata está inicialmente a uma distância
R do centro do disco, mas rasteja a té a borda do disco. Trate a barata como se fosse uma partícula. Qual é a sua velocidade angular ao chegar à borda do disco? Saiba que o momento de inércia de um disco que gira em torno de um eixo central é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de vinil com massa
e raio
que está girando com uma velocidade angular inicial
. Uma barata, que vamos tratar como uma partícula com massa
, está inicialmente a uma distância
do centro do disco e rasteja até a borda. Queremos descobrir qual será a nova velocidade angular
do disco quando a barata chegar à borda. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento angular (
) de um sistema sem torque externo é constante. Ou seja, o momento angular inicial (
) é igual ao momento angular final (
):
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento angular inicial. O momento angular de um objeto em rotação é dado por:
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular.
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia inicial (
) do sistema composto pelo disco e pela barata na posição inicial:
Sabemos que o momento de inércia de um disco é:
E o momento de inércia da barata tratada como partícula é:
Portanto:
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular o momento de inércia final (
) quando a barata chega à borda do disco (
):
Então:
Passo 6
Aplicando a conservação do momento angular:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores conhecidos. Sabemos que
e
. A massa da barata
não foi fornecida, então vamos deixar a resposta em termos de
:
Resposta
A velocidade angular do disco quando a barata chega à borda é: