Dado uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L, determine:
(a)
seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto
, a uma distância arbitrária H de uma de suas extremidades;
(a)
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: queremos encontrar o momento de inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A matéria envolvida aqui é a Física, mais especificamente o estudo de momentos de inércia de objetos rígidos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para uma barra delgada e aplicar o Teorema de Steiner, que nos ajuda a calcular o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia
de uma barra delgada uniforme de comprimento
e massa
em torno de um eixo que passa pelo seu centro é dado por:
Isso porque a distribuição da massa é simétrica em relação ao centro da barra.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que está a uma distância
de uma das extremidades da barra. Para isso, vamos usar o Teorema de Steiner, que nos diz que:
onde
é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.
Passo 4
Vamos calcular
. O centro de massa de uma barra uniforme está no seu meio, ou seja, a
da extremidade. Se o eixo está a uma distância
de uma extremidade, então:
Isso representa a distância entre o centro de massa e o eixo que estamos considerando.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do Teorema de Steiner, temos:
Vamos expandir o termo do quadrado:
Passo 6
Distribuindo o
e somando os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, o momento de inércia da barra em relação ao eixo que está a uma distância
de uma das extremidades é: