Dado uma barra delgada uniforme de massa M e comprimento L, determine:
(a) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma distância arbitrária H de uma de suas extremidades;

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: queremos encontrar o momento de inércia, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A matéria envolvida aqui é a Física, mais especificamente o estudo de momentos de inércia de objetos rígidos. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para uma barra delgada e aplicar o Teorema de Steiner, que nos ajuda a calcular o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia Icentro = 112 M L^2 de uma barra delgada uniforme de comprimento e massa em torno de um eixo que passa pelo seu centro é dado por:
Isso porque a distribuição da massa é simétrica em relação ao centro da barra.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo que está a uma distância I = Icentro + M d^2 de uma das extremidades da barra. Para isso, vamos usar o Teorema de Steiner, que nos diz que:
onde é a distância entre o centro de massa e o novo eixo.

Passo 4

Vamos calcular d = H - L2 . O centro de massa de uma barra uniforme está no seu meio, ou seja, a da extremidade. Se o eixo está a uma distância de uma extremidade, então:
Isso representa a distância entre o centro de massa e o eixo que estamos considerando.

Passo 5

Substituindo I = 112 M L^2 + M ( H - L2 )^2 e I = 112 M L^2 + M ( H^2 - H L + L^24 ) na fórmula do Teorema de Steiner, temos:
Vamos expandir o termo do quadrado:

Passo 6

Distribuindo o I = 112 M L^2 + M H^2 - M H L + 14 M L^2 e somando os termos semelhantes:
I = M H^2 - M H L + ( 112 + 14 ) M L^2
I = M H^2 - M H L + 13 M L^2

Resposta

Portanto, o momento de inércia da barra em relação ao eixo que está a uma distância I = M H^2 - M H L + 13 M L^2 de uma das extremidades é:

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