Um barco se aproxima da costa a . Um menino está no alto de uma falésia com 19 , 0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de . O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de com a vertical em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um barco que está se aproximando da costa a uma velocidade de . Um menino está no alto de uma falésia com de altura e lança uma bola de com uma velocidade de , formando um ângulo de com a vertical em direção ao barco. A gente quer descobrir qual deve ser a distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia para que a bola caia bem no meio do barco. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil e cinemática. Precisaremos decompor a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para cair até o solo e, com isso, determinar a distância que o barco percorre nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas direções horizontal e vertical. Sabemos que a velocidade inicial é de e o ângulo com a vertical é de .
A componente vertical da velocidade ( ) pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo:
E a componente horizontal ( ) usando o seno:
Vamos calcular esses valores:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para cair do alto da falésia até o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Aqui:
  • é a deslocação vertical (que será , pois a bola está descendo),
  • (positiva para cima),
  • (aceleração da gravidade para baixo).
Substituindo:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática na forma . Vamos resolver para usando a fórmula quadrática:
Onde:
Calculando o discriminante ( ):
Então,
Então,
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos apenas a solução com o sinal positivo:

Passo 4

Agora que sabemos que a bola leva aproximadamente para cair, vamos calcular quanto o barco se aproxima da falésia nesse tempo. O barco está se movendo em direção à costa com uma velocidade de .
A distância que o barco percorre em segundos é:
Onde:
Calculando:

Passo 5

Porém, precisamos considerar que a bola também se move horizontalmente com uma velocidade de durante o tempo de voo. Assim, a distância horizontal percorrida pela bola é:
Isso significa que a bola vai se deslocar na horizontal durante o tempo que leva para cair. Portanto, para que a bola caia no meio do barco, a distância inicial entre o barco e a base da falésia deve ser a soma da distância que o barco percorre e a distância que a bola se desloca horizontalmente.
Então,

Resposta

A distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia deve ser de aproximadamente para que a bola caia no meio do barco.

Exercícios relacionados

Uma bola de se move em linha reta (eixo ) conforme a figura abaixo. Considere os primeiros 4 s do movimento da bola.
(a) Qual a distância total percorrida pela bola e qual o seu deslocamento.
O conjunto dos treٌs blocos da figura abaixo têm massa iguais a , 5 kg e . Eles se movem, sobre uma superfície horizontal, para a direita devido a uma força aplicada ao bloco , sem apresentar movimento relativo entre eles. A base do bloco A e a superfície horizontal são bem lubrificadas de forma que atrito entre o bloco A e a superfície é desprezível. As superfícies de contato entres os blocos são de alumínio não lubrificado, com coeficientes de atrito cinético 1,4 e estático .
(a) Faça diagramas de corpo livre claramente designados para cada um dos blocos, identificando os pares de força de ação e reação da terceira lei de Newton.
O conjunto dos treٌs blocos da figura abaixo têm massa iguais a , 5 kg e . Eles se movem, sobre uma superfície horizontal, para a direita devido a uma força aplicada ao bloco , sem apresentar movimento relativo entre eles. A base do bloco A e a superfície horizontal são bem lubrificadas de forma que atrito entre o bloco A e a superfície é desprezível. As superfícies de contato entres os blocos são de alumínio não lubrificado, com coeficientes de atrito cinético 1,4 e estático .
(b) Determine o intervalo de valores do módulo da força para o qual esse movimento é possível.
Um bombeiro de 72 kg desliza num poste vertical, diretamente para baixo, com uma aceleração de . Quais são os módulos e sentidos das forças verticais (a) exercidas pelo poste sobre o bombeiroe (b) exercidas pelo bombeiro sobre o poste?