Um barco se aproxima da costa a
. Um menino está no alto de uma falésia com 19 , 0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de
. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de
com a vertical em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?
(a) Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um barco que está se aproximando da costa a uma velocidade de
. Um menino está no alto de uma falésia com
de altura e lança uma bola de
com uma velocidade de
, formando um ângulo de
com a vertical em direção ao barco. A gente quer descobrir qual deve ser a distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia para que a bola caia bem no meio do barco. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil e cinemática. Precisaremos decompor a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para cair até o solo e, com isso, determinar a distância que o barco percorre nesse tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas direções horizontal e vertical. Sabemos que a velocidade inicial
é de
e o ângulo
com a vertical é de
.
A componente vertical da velocidade (
) pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo:
E a componente horizontal (
) usando o seno:
Vamos calcular esses valores:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para cair do alto da falésia até o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
Aqui:
-
é a deslocação vertical (que será , pois a bola está descendo), -
(positiva para cima), -
(aceleração da gravidade para baixo).
Substituindo:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática na forma
. Vamos resolver para
usando a fórmula quadrática:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Então,
Então,
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos apenas a solução com o sinal positivo:
Passo 4
Agora que sabemos que a bola leva aproximadamente
para cair, vamos calcular quanto o barco se aproxima da falésia nesse tempo. O barco está se movendo em direção à costa com uma velocidade de
.
A distância que o barco percorre em
segundos é:
Onde:
Calculando:
Passo 5
Porém, precisamos considerar que a bola também se move horizontalmente com uma velocidade de
durante o tempo de voo. Assim, a distância horizontal percorrida pela bola é:
Isso significa que a bola vai se deslocar
na horizontal durante o tempo que leva para cair. Portanto, para que a bola caia no meio do barco, a distância inicial entre o barco e a base da falésia deve ser a soma da distância que o barco percorre e a distância que a bola se desloca horizontalmente.
Então,
Resposta
A distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia deve ser de aproximadamente
para que a bola caia no meio do barco.