Um barco se aproxima da costa a 50 m / s. Um menino está no alto de uma falésia com 19 , 0 m de altura e lança uma bola de 750 g com velocidade de 10 m / s. O lançamento é feito de forma que a velocidade inicial da bola forma um ângulo de 30^circ com a vertical em direção ao barco. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual deve ser a distância inicial do centro do barco até a base da falésia para que a bola caia no meio do barco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um barco que está se aproximando da costa a uma velocidade de 50, m/s. Um menino está no alto de uma falésia com 19,0, m de altura e lança uma bola de 750, g com uma velocidade de 10, m/s, formando um ângulo de 30^circ com a vertical em direção ao barco. A gente quer descobrir qual deve ser a distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia para que a bola caia bem no meio do barco. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil e cinemática. Precisaremos decompor a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo que a bola leva para cair até o solo e, com isso, determinar a distância que o barco percorre nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola nas direções horizontal e vertical. Sabemos que a velocidade inicial v0 é de 10, m/s e o ângulo theta com a vertical é de 30^circ.
A componente vertical da velocidade ( v0y) pode ser encontrada usando o cosseno do ângulo:
v0y = v0 cdot cos(theta) = 10, m/s cdot cos(30^circ)
E a componente horizontal ( v0x) usando o seno:
v0x = v0 cdot sin(theta) = 10, m/s cdot sin(30^circ)
Vamos calcular esses valores:
cos(30^circ) approx 0,8660
sin(30^circ) = 0,5
Então,
v0y = 10 cdot 0,8660 approx 8,66, m/s
v0x = 10 cdot 0,5 = 5,0, m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para cair do alto da falésia até o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical:
y = v0y cdot t + 12 ay t^2
Aqui:
  • y é a deslocação vertical (que será -19,0, m, pois a bola está descendo),
  • v0y approx 8,66, m/s (positiva para cima),
  • ay = -g = -9,81, m/s^2 (aceleração da gravidade para baixo).
Substituindo:
-19,0 = 8,66 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
-19,0 = 8,66 t - 4,905 t^2
Rearranjando:
4,905 t^2 - 8,66 t - 19,0 = 0
Essa é uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0. Vamos resolver para t usando a fórmula quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 4,905
  • b = -8,66
  • c = -19,0
Calculando o discriminante ( De):
De
De
De
Então,
t = 8,66 pm raiz447,852 cdot 4,905
raiz447,85 approx 21,16
Então,
t = 8,66 pm 21,169,81
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos apenas a solução com o sinal positivo:
t = 8,66 + 21,169,81
t approx 29,829,81
t approx 3,04, s

Passo 4

Agora que sabemos que a bola leva aproximadamente 3,04, s para cair, vamos calcular quanto o barco se aproxima da falésia nesse tempo. O barco está se movendo em direção à costa com uma velocidade de 50, m/s.
A distância que o barco percorre em t segundos é:
d = vb cdot t
Onde:
  • vb = 50, m/s
  • t approx 3,04, s
Calculando:
d = 50 cdot 3,04
d approx 152,0, m

Passo 5

Porém, precisamos considerar que a bola também se move horizontalmente com uma velocidade de v0x = 5,0, m/s durante o tempo de voo. Assim, a distância horizontal percorrida pela bola é:
x = v0x cdot t
x = 5,0 cdot 3,04
x approx 15,2, m
Isso significa que a bola vai se deslocar 15,2, m na horizontal durante o tempo que leva para cair. Portanto, para que a bola caia no meio do barco, a distância inicial entre o barco e a base da falésia deve ser a soma da distância que o barco percorre e a distância que a bola se desloca horizontalmente.
Então,
D = d + x
D = 152,0, m + 15,2, m
D approx 167,2, m

Resposta

A distância inicial entre o centro do barco e a base da falésia deve ser de aproximadamente 167,2, m para que a bola caia no meio do barco.

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