QUESTÃO 2 (Valor 0,75 ponto) - Uma partícula de massa m e velocidade inicial v0=v0 ux colide elasticamente com outra partícula, de massa desconhecida, inicialmente em repouso. Após a colisão, a partícula de massa m passa a se movimentar ao longo do eixo O X com uma velocidade de módulo v0 / raiz3. Determine:
b) A massa da partícula, inicialmente em repouso.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma colisão elástica entre duas partículas. A primeira partícula tem massa e velocidade inicial na direção do eixo . A segunda partícula, de massa desconhecida , está inicialmente em repouso. Após a colisão, a primeira partícula passa a se mover com uma velocidade de . Nosso objetivo é encontrar o valor da massa .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e conservação da energia cinética, que são fundamentais em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a conservação do momento linear. O momento linear é dado por:
Momento = massa times velocidade
Antes da colisão, apenas a partícula de massa m v0 = m ( v0raiz3 ) + M v2 está em movimento. Após a colisão, ambas as partículas estão em movimento. Então, a conservação do momento fica:
Onde é a velocidade da massa após a colisão.

Passo 3

Agora, aplicamos a conservação da energia cinética. A energia cinética é dada por:
Energia cinética = 12 times massa times velocidade^2 é
Como a colisão é elástica, a energia cinética total antes e depois da colisão permanece a mesma:
12 m v0^2 = 12 m ( v0raiz3 )^2 + 12 M v2^2

Passo 4

Vamos simplificar as equações. Primeiro, da conservação do momento:
m v0 = m v0raiz3 + M v2
Podemos isolar M v2 = m v0 - m v0raiz3 = m v0 (1 - 1raiz3) :
v2 = m v0 (1 - 1raiz3)M

Passo 5

Agora, substituímos 12 m v0^2 = 12 m ( v0raiz3 )^2 + 12 M ( m v0 (1 - 1raiz3)M )^2 na equação da energia cinética:
12 m v0^2 = 16 m v0^2 + 12 ( m v0 (1 - 1raiz3)M )^2
Simplificando:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver 12 m v0^2 - 16 m v0^2 = 12 ( m v0 (1 - 1raiz3)M )^2 :
13 m v0^2 = 12 m^2 v0^2 (1 - 1raiz3)^2M^2
23 m v0^2 M^2 = m^2 v0^2 (1 - 1raiz3)^2
Multiplicando ambos os lados por 23 M^2 = m (1 - 1raiz3)^2 :
M^2 = 32 m (1 - 1raiz3)^2
Cancelando M = raiz 32 m (1 - 1raiz3)^2 de ambos os lados:

Resposta

A massa da partícula inicialmente em repouso é:
M = m raiz 32 (1 - 1raiz3)^2 approx 0,61, m

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