Um barco cuja velocidade é 5,0 km / h em águas paradas quer atravessar um rio de 150 m de largura. Supõe-se que a velocidade da água seja 4,0 km / h. a) Qual o rumo que o barco deve tomar para que ele cruze o rio perpendicularmente às margens, seguindo uma trajetória AB ? b) Tomando o rumo AB , onde o barco acostará? c) Quanto tempo levará a travessia tomando o rumo AB?

Passo 1

Então, pelo enunciado, temos um barco que navega a 5,0 km/h em águas paradas e quer atravessar um rio que tem 150 metros de largura. A água do rio está correndo a 4,0 km/h. Vamos usar conceitos de velocidade relativa e vetores para resolver esse problema. Precisaremos entender como a velocidade do barco e a correnteza da água interagem para determinar a direção que o barco deve tomar, onde vai chegar e quanto tempo levará para atravessar o rio.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual o rumo que o barco deve tomar para cruzar o rio perpendicularmente às margens. Como a correnteza está desviando o barco para baixo do rio, precisamos apontar o barco contra a correnteza para que a trajetória resultante seja perpendicular.
Para isso, vamos usar trigonometria. A velocidade do barco em relação à água forma um ângulo com a linha perpendicular ao rio. Esse ângulo pode ser encontrado usando a relação entre a velocidade do barco e a velocidade da correnteza.
Usando a fórmula:
tan(theta) = vcorrentevbarco
onde tan(theta) = 4,05,0 = 0,8 e theta = arctan(0,8) approx 38,66^circ .
Calculando:
Portanto, o barco deve apontar aproximadamente contra a correnteza para cruzar perpendicularmente.

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (b): onde o barco vai acostar seguindo a trajetória AB. Mesmo apontando contra a correnteza, a corrente ainda vai desviar o barco ao longo do rio.
Para encontrar o deslocamento lateral, usamos a velocidade da correnteza e o tempo de travessia.
Primeiro, precisamos converter as velocidades de km/h para m/s para facilitar os cálculos com a largura do rio.
vcorrente = 4,0 , km/h = 40003600 approx 1,11 , m/s
vbarco = 5,0 , km/h = 50003600 approx 1,39 , m/s
A componente da velocidade do barco perpendicular ao rio é:
vperp = vbarco cdot cos(theta) = 1,39 cdot cos(38,66^circ) approx 1,11 , m/s
O tempo para atravessar o rio é:
t = largura do riovperp = 1501,11 approx 135 , s
Com o tempo, o deslocamento lateral devido à corrente é:
d = vcorrente cdot t = 1,11 cdot 135 approx 150 , m
Então, o barco vai acostar aproximadamente 150 metros rio abaixo do ponto diretamente oposto.

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a parte ©: quanto tempo levará a travessia seguindo o rumo AB. Já calculamos isso no passo anterior, mas vamos reafirmar.
A componente da velocidade do barco perpendicular ao rio é de aproximadamente 1,11 m/s. A largura do rio é de 150 metros. Então, o tempo para atravessar é:
t = 150 , m1,11 , m/s approx 135 , s
Convertendo para minutos:
135 , s div 60 approx 2,25 , minutos

Resposta

a) O barco deve apontar aproximadamente contra a correnteza para cruzar perpendicularmente.
b) O barco vai acostar cerca de 150 metros rio abaixo do ponto diretamente oposto.
c) A travessia levará aproximadamente 2,25 minutos.

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