Use a regra da cadeia para expressar de. Depois calcule o valor no ponto dado
W=ln (x^2+y^2+z^2) com x=eu^v sen u, y=eu^v cos ue z=eu^v ;(u, v)=(-2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem a função x = e^u v sin u y = e^u v cos u z = e^u v onde as variáveis são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , e depois calcular esses valores no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se partial Wpartial u = partial Wpartial x cdot partial xpartial u + partial Wpartial y cdot partial ypartial u + partial Wpartial z cdot partial zpartial u depende de partial Wpartial v = partial Wpartial x cdot partial xpartial v + partial Wpartial y cdot partial ypartial v + partial Wpartial z cdot partial zpartial v , e cada uma dessas depende de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial Wpartial x = 2xx^2 + y^2 + z^2 em relação a partial Wpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2 . Dado que partial Wpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2 , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis partial xpartial u = e^u v cos u + v e^u v sin u em relação a partial ypartial u = -e^u v sin u + v e^u v cos u e partial zpartial u = v e^u v .
Primeiro, em relação a partial xpartial v = u e^u v sin u :
partial ypartial v = u e^u v cos u
partial zpartial v = u e^u v
Agora, em relação a :

Passo 5

Vamos agora montar as expressões para partial Wpartial u = 2xx^2 + y^2 + z^2 ( e^u v cos u + v e^u v sin u ) + 2yx^2 + y^2 + z^2 ( -e^u v sin u + v e^u v cos u ) + 2zx^2 + y^2 + z^2 ( v e^u v ) e partial Wpartial v = 2xx^2 + y^2 + z^2 ( u e^u v sin u ) + 2yx^2 + y^2 + z^2 ( u e^u v cos u ) + 2zx^2 + y^2 + z^2 ( u e^u v ) usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de x = e^(-2)(0) sin(-2) = 1 cdot sin(-2) = -sin 2 e y = e^(-2)(0) cos(-2) = 1 cdot cos 2 nas expressões de z = e^(-2)(0) = 1 :
x^2 + y^2 + z^2 = sin^2 2 + cos^2 2 + 1 = 1 + 1 = 2
E o denominador :

Passo 7

Vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial u = e^0 cos(-2) + 0 cdot e^0 sin(-2) = cos 2 no ponto partial ypartial u = -e^0 sin(-2) + 0 cdot e^0 cos(-2) = sin 2 :
Para partial zpartial u = 0 cdot e^0 = 0 em partial xpartial v = (-2) e^0 sin(-2) = -2 sin 2 :
partial ypartial v = (-2) e^0 cos(-2) = -2 cos 2
Para partial zpartial v = (-2) e^0 = -2 em :
Para em :
Agora, para em :
Para em :
Para em :

Passo 8

Agora, vamos substituir todos os valores encontrados na expressão das derivadas parciais de partial Wpartial u = 2(-sin 2)2 (cos 2) + 2(cos 2)2 (sin 2) + 2(1)2 (0) = -sin 2 cos 2 + cos 2 sin 2 + 0 = 0 :
Para partial Wpartial v = 2(-sin 2)2 (-2 sin 2) + 2(cos 2)2 (-2 cos 2) + 2(1)2 (-2) = 2 sin^2 2 - 2 cos^2 2 - 2 :
2(sin^2 2 - cos^2 2) - 2 = 2(-cos 4) - 2 = -2 cos 4 - 2
Para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial Wpartial u = 0 são:
partial Wpartial v = -2 cos 4 - 2 approx -2( -0.6536 ) - 2 approx 1.3072 - 2 = -0.6928
partial Wpartial u = 0 e partial Wpartial v approx -0.6928
Portanto,

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