Use a regra da cadeia para expressar . Depois calcule o valor no ponto dado

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem a função onde as variáveis são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , e depois calcular esses valores no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de , e cada uma dessas depende de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a . Dado que , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis em relação a e .
Primeiro, em relação a :
Agora, em relação a :

Passo 5

Vamos agora montar as expressões para e usando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de e nas expressões de :
E o denominador :

Passo 7

Vamos calcular as derivadas parciais de no ponto :
Para em :
Para em :
Para em :
Agora, para em :
Para em :
Para em :

Passo 8

Agora, vamos substituir todos os valores encontrados na expressão das derivadas parciais de :
Para :
Para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:
Portanto,

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O bloco de massa escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade .
Encontre e .
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Encontre a função horária da posição.
Considere que um paraquedista de massa é solto no instante velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.
O barco de massa e velocidade inicial é freado pela força resistiva dada por , onde e são constantes positivas com dimensões apropriadas.
A distância percorrida pelo barco até parar.