Use a regra da cadeia para expressar . Depois calcule o valor no ponto dado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. A gente tem a função onde as variáveis são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e , e depois calcular esses valores no ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se depende de , e cada uma dessas depende de e , então as derivadas parciais de em relação a e são dadas por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a . Dado que , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas das variáveis em relação a e .
Primeiro, em relação a :
Agora, em relação a :
Passo 5
Vamos agora montar as expressões para e usando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores de e nas expressões de :
E o denominador :
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais de no ponto :
Para em :
Para em :
Para em :
Agora, para em :
Para em :
Para em :
Passo 8
Agora, vamos substituir todos os valores encontrados na expressão das derivadas parciais de :