O barco necessita ser puxado para o mar utilizando-se duas cordas. Encontre as forças P e T de forma que a resultante horizontal F1 tenha magnitude de 80N. theta=40^circ e theta1=30^circ. R.: P=42.6 N ; T=54.7 N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as forças e que, puxando o barco com dois cabos em ângulos diferentes, resultem numa força horizontal total de 80N. Pra isso, vamos usar conceitos de resolução de vetores e um pouco de trigonometria para separar as forças nos eixos horizontal e vertical. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças. Imagina o barco sendo puxado por duas cordas:
  • A corda com força está fazendo um ângulo de com a horizontal.
  • A corda com força está fazendo um ângulo de com a horizontal.
A força resultante horizontal que a gente quer atingir é .

Passo 3

Agora, vamos separar cada força nos seus componentes horizontal e vertical usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Para a força Px = P cdot cos(theta) :
Py = P cdot sin(theta)
Tx = T cdot cos(theta1)
Para a força Ty = T cdot sin(theta1) :

Passo 4

Como queremos que a força resultante horizontal seja de 80N, a soma das componentes horizontais das duas forças deve ser igual a 80N:
Px + Tx = F1
P cdot cos(40^circ) + T cdot cos(30^circ) = 80

Passo 5

Assumindo que o barco está em equilíbrio vertical (não está subindo nem descendo), as componentes verticais das forças também se equilibram:
Py = Ty
P cdot sin(40^circ) = T cdot sin(30^circ)

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas P cdot cos(40^circ) + T cdot cos(30^circ) = 80 e P cdot sin(40^circ) = T cdot sin(30^circ) . Vamos resolver esse sistema.
Primeira equação:
P = T cdot sin(30^circ)sin(40^circ)
Segunda equação:

Passo 7

Vamos substituir ( T cdot sin(30^circ)sin(40^circ) ) cdot cos(40^circ) + T cdot cos(30^circ) = 80 da segunda equação na primeira:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores dos senos e cossenos:
sin(30^circ) = 0,5
sin(40^circ) approx 0,6428
cos(40^circ) approx 0,7660
cos(30^circ) approx 0,8660
Substituindo na equação:
( T cdot 0,50,6428 ) cdot 0,7660 + T cdot 0,8660 = 80
( T cdot 0,777 ) + T cdot 0,8660 = 80
T (0,777 + 0,866) = 80
T cdot 1,643 = 80
T = 801,643 approx 48,7 , N

Passo 9

Agora que encontramos P = T cdot sin(30^circ)sin(40^circ) = 48,7 cdot 0,50,6428 approx 37,9 , N , vamos encontrar usando a segunda equação:

Resposta

As forças necessárias são aproximadamente e .

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