Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com
de comprimento (
), se a barra deve ser girada em
sem exceder a tensão de cisalhamento de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o maior diâmetro possível para uma barra de aço que tem 3 metros de comprimento. A barra vai ser torcida até 30 graus, mas sem que a tensão de cisalhamento (tipo uma força que age de lado) ultrapasse 82,7 MPa. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torção de barras cilíndricas. Vamos precisar das fórmulas que relacionam o torque aplicado, o ângulo de torção, o módulo de rigidão e a geometria da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar. Quando torcemos uma barra cilíndrica, o ângulo de torção (θ) está relacionado ao torque (T), ao comprimento da barra (L), ao módulo de rigidão (G) e ao momento polar de inércia (J). A fórmula é:
Além disso, a tensão de cisalhamento máxima (τ) está relacionada ao torque e ao raio da barra ® pela fórmula:
Como a barra é cilíndrica, o momento polar de inércia (J) para uma seção circular é:
Onde
é o diâmetro da barra.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro
, então vamos relacionar essas equações para isolar
. Primeiro, vamos resolver a primeira equação para o torque
:
Agora, substituímos esse
na segunda equação:
Simplificando, o
cancela:
Sabendo que
, podemos substituir:
Passo 4
Agora, vamos isolar o diâmetro
:
Vamos substituir os valores que temos:
-
Pa (convertendo MPa para Pa) -
m -
. Precisamos converter para radianos porque as fórmulas de torção usam radianos. Sabemos que rad. -
Pa (convertendo GPa para Pa)
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcular o numerador:
Depois, calcular o denominador:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Convertendo para milímetros (já que 1 metro = 1000 mm):
Resposta
O maior diâmetro possível para a barra de aço é aproximadamente 12,23 mm.