Determine o maior diâmetro possível para uma barra de aço com 3,0 m de comprimento ( G=77,2 GPa ), se a barra deve ser girada em 30^circ sem exceder a tensão de cisalhamento de 82,7 MPa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o maior diâmetro possível para uma barra de aço que tem 3 metros de comprimento. A barra vai ser torcida até 30 graus, mas sem que a tensão de cisalhamento (tipo uma força que age de lado) ultrapasse 82,7 MPa. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torção de barras cilíndricas. Vamos precisar das fórmulas que relacionam o torque aplicado, o ângulo de torção, o módulo de rigidão e a geometria da barra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as fórmulas que vamos usar. Quando torcemos uma barra cilíndrica, o ângulo de torção (θ) está relacionado ao torque (T), ao comprimento da barra (L), ao módulo de rigidão (G) e ao momento polar de inércia (J). A fórmula é:
theta = T cdot LG cdot J
Além disso, a tensão de cisalhamento máxima (τ) está relacionada ao torque e ao raio da barra ® pela fórmula:
tau = T cdot rJ
Como a barra é cilíndrica, o momento polar de inércia (J) para uma seção circular é:
J = pi cdot d^432
Onde é o diâmetro da barra.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o diâmetro T = theta cdot G cdot JL , então vamos relacionar essas equações para isolar tau = ( theta cdot G cdot JL ) cdot rJ . Primeiro, vamos resolver a primeira equação para o torque tau = theta cdot G cdot rL :
tau = theta cdot G cdot d2L
Agora, substituímos esse na segunda equação:
Simplificando, o cancela:
Sabendo que , podemos substituir:

Passo 4

Agora, vamos isolar o diâmetro d = 2 cdot tau cdot Ltheta cdot G :
d = 2 cdot 82,7 times 10^6 cdot 3,0pi6 cdot 77,2 times 10^9
Vamos substituir os valores que temos:
  • Pa (convertendo MPa para Pa)
  • m
  • . Precisamos converter para radianos porque as fórmulas de torção usam radianos. Sabemos que rad.
  • Pa (convertendo GPa para Pa)
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcular o numerador:
2 cdot 82,7 times 10^6 cdot 3,0 = 496,2 times 10^6
Depois, calcular o denominador:
pi6 cdot 77,2 times 10^9 approx 40,5 times 10^9
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
d = 496,2 times 10^640,5 times 10^9 approx 0,01223 metros
Convertendo para milímetros (já que 1 metro = 1000 mm):
d approx 12,23 mm

Resposta

O maior diâmetro possível para a barra de aço é aproximadamente 12,23 mm.

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