O baricentro de um tetraedro de vértices
e
é o único ponto
tal que
O C+O D ), onde
O é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que
G independe da escolha do ponto
O ;
(b) Mostre que
G A+G B+G C+G D=0 ;
© Se
G1 é o baricentro da face
triang<= A B C , use o problema
5 . item (f) para mostrar que
D G=34 D G1 . Escreva relações análogas para
A G, B G e
C G .
(a) Verifique que
(b) Mostre que
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o baricentro de um tetraedro. O enunciado nos pede para trabalhar com um tetraedro cujos vértices são
A, B, C e
D , e o baricentro
G . Vamos precisar entender o que é baricentro e usar conceitos de vetores para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Verificar que
G independe da escolha do ponto
O .
Primeiro, vamos entender o que significa o baricentro
G ser independente do ponto
O . O enunciado define
G através da relação:
Queremos mostrar que, independente do ponto
O que escolhemos, o ponto
G sempre será o mesmo.
Passo 3
Para provar isso, vamos usar a ideia de vetores. Sabemos que, se escolhermos outro ponto
O' , teremos:
Vamos relacionar os dois pontos de vista usando a propriedade dos vetores que diz que
O'G = O' O + O G .
Substituindo na equação:
Note que
O' A = O' O + O A , e similar para os outros vetores. Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Cancelando
O' O dos dois lados:
Isso mostra que a definição de
G não depende de
O , ou seja,
G é único e independente da escolha de
O .
Passo 4
Parte (b): Mostrar que
G A + G B + G C + G D = 0 .
Vamos começar entendendo que
G A é o vetor que vai de
G a
A , e assim por diante para os outros vetores.
Sabemos que:
E similarmente para
G B ,
G C e
G D . Vamos somar todos esses vetores:
Distribuindo:
Mas, pela definição do baricentro:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Substituindo na equação anterior:
Portanto, a soma dos vetores
G A ,
G B ,
G C e
G D é igual a zero vetor.
Passo 5
Parte ©: Mostrar que
D G = 34 D G1 e relações análogas para
A G ,
B G e
C G .
Primeiro,
G1 é o baricentro da face
triang<= A B C . Vamos entender que o baricentro de uma face de um tetraedro é o ponto médio dos vetores dos vértices dessa face.
Pelo problema 5 item (f) (que presumivelmente trata de propriedades do baricentro em subdivisões de tetraedros), sabemos que a relação entre o baricentro do tetraedro e o baricentro das faces é dada por fatores escalares.
Vamos considerar o vetor
D G1 . Como
G é o baricentro do tetraedro, ele divide a mediana que vai de
D a
G1 em uma razão de
3:1 , ou seja:
Isso significa que
G está mais próximo de
G1 do que de
D , na proporção de 3 para 1.
Analogamente, podemos escrever as relações para os outros vértices:
Onde
G2 ,
G3 e
G4 são os baricentros das faces
triang<= B C D ,
triang<= A C D e
triang<= A B D , respectivamente.
Resposta
(a) Demonstramos que o baricentro
G não depende do ponto
O escolhido.
(b) Mostramos queG A + G B + G C + G D = 0 .
© Estabelecemos queD G = 34 D G1 , e relações similares para
A G ,
B G e
C G .
(b) Mostramos que
© Estabelecemos que