O baricentro de um tetraedro de vértices e é o único ponto tal que ), onde é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que independe da escolha do ponto ;
(b) Mostre que ;
© Se é o baricentro da face , use o problema . item (f) para mostrar que . Escreva relações análogas para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o baricentro de um tetraedro. O enunciado nos pede para trabalhar com um tetraedro cujos vértices são e , e o baricentro . Vamos precisar entender o que é baricentro e usar conceitos de vetores para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Verificar que independe da escolha do ponto .
Primeiro, vamos entender o que significa o baricentro ser independente do ponto . O enunciado define através da relação:
Queremos mostrar que, independente do ponto que escolhemos, o ponto sempre será o mesmo.

Passo 3

Para provar isso, vamos usar a ideia de vetores. Sabemos que, se escolhermos outro ponto , teremos:
Vamos relacionar os dois pontos de vista usando a propriedade dos vetores que diz que .
Substituindo na equação:
Note que , e similar para os outros vetores. Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Cancelando dos dois lados:
Isso mostra que a definição de não depende de , ou seja, é único e independente da escolha de .

Passo 4

Parte (b): Mostrar que .
Vamos começar entendendo que é o vetor que vai de a , e assim por diante para os outros vetores.
Sabemos que:
E similarmente para , e . Vamos somar todos esses vetores:
Distribuindo:
Mas, pela definição do baricentro:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Substituindo na equação anterior:
Portanto, a soma dos vetores , , e é igual a zero vetor.

Passo 5

Parte ©: Mostrar que e relações análogas para , e .
Primeiro, é o baricentro da face . Vamos entender que o baricentro de uma face de um tetraedro é o ponto médio dos vetores dos vértices dessa face.
Pelo problema 5 item (f) (que presumivelmente trata de propriedades do baricentro em subdivisões de tetraedros), sabemos que a relação entre o baricentro do tetraedro e o baricentro das faces é dada por fatores escalares.
Vamos considerar o vetor . Como é o baricentro do tetraedro, ele divide a mediana que vai de a em uma razão de , ou seja:
Isso significa que está mais próximo de do que de , na proporção de 3 para 1.
Analogamente, podemos escrever as relações para os outros vértices:
Onde , e são os baricentros das faces , e , respectivamente.

Resposta

(a) Demonstramos que o baricentro não depende do ponto escolhido.
(b) Mostramos que .
© Estabelecemos que , e relações similares para , e .

Exercícios relacionados

Sejam e os vértices de um paralelogramo. Mostre que se e são os pontos médios de e respectivamente, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto ;
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;