O baricentro de um tetraedro de vértices
e
é o único ponto
tal que
), onde
é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que
independe da escolha do ponto
;
(b) Mostre que
;
© Se
é o baricentro da face
, use o problema
. item (f) para mostrar que
. Escreva relações análogas para
e
.
(a) Verifique que
(b) Mostre que
© Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o baricentro de um tetraedro. O enunciado nos pede para trabalhar com um tetraedro cujos vértices são
e
, e o baricentro
. Vamos precisar entender o que é baricentro e usar conceitos de vetores para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Verificar que
independe da escolha do ponto
.
Primeiro, vamos entender o que significa o baricentro
ser independente do ponto
. O enunciado define
através da relação:
Queremos mostrar que, independente do ponto
que escolhemos, o ponto
sempre será o mesmo.
Passo 3
Para provar isso, vamos usar a ideia de vetores. Sabemos que, se escolhermos outro ponto
, teremos:
Vamos relacionar os dois pontos de vista usando a propriedade dos vetores que diz que
.
Substituindo na equação:
Note que
, e similar para os outros vetores. Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Cancelando
dos dois lados:
Isso mostra que a definição de
não depende de
, ou seja,
é único e independente da escolha de
.
Passo 4
Parte (b): Mostrar que
.
Vamos começar entendendo que
é o vetor que vai de
a
, e assim por diante para os outros vetores.
Sabemos que:
E similarmente para
,
e
. Vamos somar todos esses vetores:
Distribuindo:
Mas, pela definição do baricentro:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Substituindo na equação anterior:
Portanto, a soma dos vetores
,
,
e
é igual a zero vetor.
Passo 5
Parte ©: Mostrar que
e relações análogas para
,
e
.
Primeiro,
é o baricentro da face
. Vamos entender que o baricentro de uma face de um tetraedro é o ponto médio dos vetores dos vértices dessa face.
Pelo problema 5 item (f) (que presumivelmente trata de propriedades do baricentro em subdivisões de tetraedros), sabemos que a relação entre o baricentro do tetraedro e o baricentro das faces é dada por fatores escalares.
Vamos considerar o vetor
. Como
é o baricentro do tetraedro, ele divide a mediana que vai de
a
em uma razão de
, ou seja:
Isso significa que
está mais próximo de
do que de
, na proporção de 3 para 1.
Analogamente, podemos escrever as relações para os outros vértices:
Onde
,
e
são os baricentros das faces
,
e
, respectivamente.
Resposta
(a) Demonstramos que o baricentro
não depende do ponto
escolhido.
(b) Mostramos que .
© Estabelecemos que , e relações similares para
,
e
.
(b) Mostramos que
© Estabelecemos que
Exercícios relacionados
Sejam
e
os vértices de um paralelogramo. Mostre que se
e
são os pontos médios de
e
respectivamente, então o quadrilátero
é um paralelogramo.
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
meia volta a partir do ponto
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto ;
meia volta partir do ponto
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
meia volta a partir do ponto