O baricentro de um tetraedro de vértices A, B, C e D é o único ponto G tal que O G=14(O A+O B+ O C+O D ), onde O é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que G independe da escolha do ponto O;
(b) Mostre que G A+G B+G C+G D=0;
© Se G1 é o baricentro da face triang<= A B C, use o problema 5. item (f) para mostrar que D G=34 D G1. Escreva relações análogas para A G, B G e C G.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o baricentro de um tetraedro. O enunciado nos pede para trabalhar com um tetraedro cujos vértices são A, B, C e D, e o baricentro G. Vamos precisar entender o que é baricentro e usar conceitos de vetores para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.

Passo 2

Parte (a): Verificar que G independe da escolha do ponto O.
Primeiro, vamos entender o que significa o baricentro G ser independente do ponto O. O enunciado define G através da relação:
O G = 14 (O A + O B + O C + O D)
Queremos mostrar que, independente do ponto O que escolhemos, o ponto G sempre será o mesmo.

Passo 3

Para provar isso, vamos usar a ideia de vetores. Sabemos que, se escolhermos outro ponto O', teremos:
O' G = 14 (O' A + O' B + O' C + O' D)
Vamos relacionar os dois pontos de vista usando a propriedade dos vetores que diz que O'G = O' O + O G.
Substituindo na equação:
O' O + O G = 14 (O' A + O' B + O' C + O' D)
Note que O' A = O' O + O A, e similar para os outros vetores. Substituindo isso na equação:
O' O + O G = 14 ( O' O + O A + O' O + O B + O' O + O C + O' O + O D )
Simplificando:
O' O + O G = 14 (4O' O + O A + O B + O C + O D )
O' O + O G = O' O + 14 (O A + O B + O C + O D)
Cancelando O' O dos dois lados:
O G = 14 (O A + O B + O C + O D)
Isso mostra que a definição de G não depende de O, ou seja, G é único e independente da escolha de O.

Passo 4

Parte (b): Mostrar que G A + G B + G C + G D = 0.
Vamos começar entendendo que G A é o vetor que vai de G a A, e assim por diante para os outros vetores.
Sabemos que:
G A = O A - O G
E similarmente para G B, G C e G D. Vamos somar todos esses vetores:
G A + G B + G C + G D = (O A - O G) + (O B - O G) + (O C - O G) + (O D - O G)
Distribuindo:
= O A + O B + O C + O D - 4 O G
Mas, pela definição do baricentro:
O G = 14 (O A + O B + O C + O D)
Multiplicando ambos os lados por 4:
4 O G = O A + O B + O C + O D
Substituindo na equação anterior:
G A + G B + G C + G D = (O A + O B + O C + O D) - (O A + O B + O C + O D) = 0
Portanto, a soma dos vetores G A, G B, G C e G D é igual a zero vetor.

Passo 5

Parte ©: Mostrar que D G = 34 D G1 e relações análogas para A G, B G e C G.
Primeiro, G1 é o baricentro da face triang<= A B C. Vamos entender que o baricentro de uma face de um tetraedro é o ponto médio dos vetores dos vértices dessa face.
Pelo problema 5 item (f) (que presumivelmente trata de propriedades do baricentro em subdivisões de tetraedros), sabemos que a relação entre o baricentro do tetraedro e o baricentro das faces é dada por fatores escalares.
Vamos considerar o vetor D G1. Como G é o baricentro do tetraedro, ele divide a mediana que vai de D a G1 em uma razão de 3:1, ou seja:
D G = 34 D G1
Isso significa que G está mais próximo de G1 do que de D, na proporção de 3 para 1.
Analogamente, podemos escrever as relações para os outros vértices:
A G = 34 A G2
B G = 34 B G3
C G = 34 C G4
Onde G2, G3 e G4 são os baricentros das faces triang<= B C D, triang<= A C D e triang<= A B D, respectivamente.

Resposta

(a) Demonstramos que o baricentro G não depende do ponto O escolhido.
(b) Mostramos que G A + G B + G C + G D = 0.
© Estabelecemos que D G = 34 D G1, e relações similares para A G, B G e C G.

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