Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto
;
meia volta partir do ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sobre a circunferência dada por
, ou seja, uma circunferência de raio 3 centrada na origem. A partícula inicia o movimento no ponto
e percorre uma meia volta no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma circunferência e ajustar o parâmetro para representar uma meia volta.
Passo 2
Primeiro, lembra que as equações paramétricas de uma circunferência de raio
centrada na origem são:
Onde
é o ângulo em radianos que o raio faz com o eixo positivo
.
Passo 3
No nosso caso, o raio
, então as equações ficam:
Essas equações descrevem a posição da partícula em qualquer instante, dependendo do ângulo
.
Passo 4
A partícula começa no ponto
. Para encontrar o ângulo inicial
, usamos:
Isso nos dá
radianos.
Passo 5
A partícula faz uma meia volta no sentido anti-horário, o que corresponde a um incremento de
radianos no ângulo. Então, o ângulo final será:
Passo 6
Para parametrizar a trajetória, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1, representando o progresso da meia volta. Assim, o ângulo em função de
será:
Passo 7
Substituindo
nas equações paramétricas, temos:
Onde
varia de 0 a 1.
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde
varia de 0 a 1.