Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sobre a circunferência dada por , ou seja, uma circunferência de raio 3 centrada na origem. A partícula inicia o movimento no ponto e percorre uma meia volta no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma circunferência e ajustar o parâmetro para representar uma meia volta.
Passo 2
Primeiro, lembra que as equações paramétricas de uma circunferência de raio centrada na origem são:
Onde é o ângulo em radianos que o raio faz com o eixo positivo .
Passo 3
No nosso caso, o raio , então as equações ficam:
Essas equações descrevem a posição da partícula em qualquer instante, dependendo do ângulo .
Passo 4
A partícula começa no ponto . Para encontrar o ângulo inicial , usamos:
Isso nos dá radianos.
Passo 5
A partícula faz uma meia volta no sentido anti-horário, o que corresponde a um incremento de radianos no ângulo. Então, o ângulo final será:
Passo 6
Para parametrizar a trajetória, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1, representando o progresso da meia volta. Assim, o ângulo em função de será:
Passo 7
Substituindo nas equações paramétricas, temos:
Onde varia de 0 a 1.
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são: