Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sobre a circunferência dada por , ou seja, uma circunferência de raio 3 centrada na origem. A partícula inicia o movimento no ponto e percorre uma meia volta no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma circunferência e ajustar o parâmetro para representar uma meia volta.

Passo 2

Primeiro, lembra que as equações paramétricas de uma circunferência de raio centrada na origem são:
Onde é o ângulo em radianos que o raio faz com o eixo positivo .

Passo 3

No nosso caso, o raio , então as equações ficam:
Essas equações descrevem a posição da partícula em qualquer instante, dependendo do ângulo .

Passo 4

A partícula começa no ponto . Para encontrar o ângulo inicial , usamos:
Isso nos dá radianos.

Passo 5

A partícula faz uma meia volta no sentido anti-horário, o que corresponde a um incremento de radianos no ângulo. Então, o ângulo final será:

Passo 6

Para parametrizar a trajetória, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1, representando o progresso da meia volta. Assim, o ângulo em função de será:

Passo 7

Substituindo nas equações paramétricas, temos:
Onde varia de 0 a 1.

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde varia de 0 a 1.

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O baricentro de um tetraedro de vértices e é o único ponto tal que ), onde é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que independe da escolha do ponto ;
(b) Mostre que ;
© Se é o baricentro da face , use o problema . item (f) para mostrar que . Escreva relações análogas para e .
Sejam e os vértices de um paralelogramo. Mostre que se e são os pontos médios de e respectivamente, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
Sejam e vértices de um paralelogramo, cujas diagonais são concorrentes em . Encontre os outros dois vértices.