Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto (3 raiz22, 3 raiz22);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move sobre a circunferência dada por , ou seja, uma circunferência de raio 3 centrada na origem. A partícula inicia o movimento no ponto e percorre uma meia volta no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma circunferência e ajustar o parâmetro para representar uma meia volta.

Passo 2

Primeiro, lembra que as equações paramétricas de uma circunferência de raio x = r cos(theta) centrada na origem são:
y = r sin(theta)
Onde é o ângulo em radianos que o raio faz com o eixo positivo .

Passo 3

No nosso caso, o raio x = 3 cos(theta) , então as equações ficam:
y = 3 sin(theta)
Essas equações descrevem a posição da partícula em qualquer instante, dependendo do ângulo .

Passo 4

A partícula começa no ponto cos(theta0) = 3 raiz223 = raiz22 . Para encontrar o ângulo inicial sin(theta0) = 3 raiz223 = raiz22 , usamos:
Isso nos dá radianos.

Passo 5

A partícula faz uma meia volta no sentido anti-horário, o que corresponde a um incremento de thetaf = theta0 + pi = pi4 + pi = 5pi4 radianos no ângulo. Então, o ângulo final será:

Passo 6

Para parametrizar a trajetória, podemos usar um parâmetro theta(t) = theta0 + t cdot pi = pi4 + pi t que varia de 0 a 1, representando o progresso da meia volta. Assim, o ângulo em função de será:

Passo 7

Substituindo x(t) = 3 cos(pi4 + pi t) nas equações paramétricas, temos:
y(t) = 3 sin(pi4 + pi t)
Onde varia de 0 a 1.

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(t) = 3 cos(pi4 + pi t)
y(t) = 3 sin(pi4 + pi t)
onde varia de 0 a 1.

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