Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto
;
meia volta a partir do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência definida por
, no sentido anti-horário, começando do ponto
e fazendo meia volta. Vamos precisar usar geometria analítica para reescrever a equação da circunferência em forma padrão e depois trigonometria para definir as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência na forma padrão
, onde
é o centro e
é o raio.
A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para
e
.
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é
.
Passo 3
Agora que temos a forma padrão da circunferência, podemos usar as equa��ões paramétricas para descrevê-la. As equações padrão são:
onde
é o ângulo parametrizado.
No nosso caso,
,
e
, então:
Passo 4
Agora, precisamos ajustar o parâmetro
para que a partícula comece no ponto
. Vamos encontrar
correspondente a esse ponto.
No ponto inicial
:
Então,
corresponde ao ponto inicial
.
Passo 5
A partícula faz meia volta no sentido anti-horário, ou seja, percorre
radianos (180 graus). Portanto, o parâmetro
vai de
a
.
Então, para representar o movimento, podemos deixar
variando de
a
.
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde
.