Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência definida por , no sentido anti-horário, começando do ponto e fazendo meia volta. Vamos precisar usar geometria analítica para reescrever a equação da circunferência em forma padrão e depois trigonometria para definir as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência na forma padrão , onde é o centro e é o raio.
A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para e .
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .
Passo 3
Agora que temos a forma padrão da circunferência, podemos usar as equa��ões paramétricas para descrevê-la. As equações padrão são:
onde é o ângulo parametrizado.
No nosso caso, , e , então:
Passo 4
Agora, precisamos ajustar o parâmetro para que a partícula comece no ponto . Vamos encontrar correspondente a esse ponto.
No ponto inicial :
Então, corresponde ao ponto inicial .
Passo 5
A partícula faz meia volta no sentido anti-horário, ou seja, percorre radianos (180 graus). Portanto, o parâmetro vai de a .
Então, para representar o movimento, podemos deixar variando de a .
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são: