Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2-2 x+y^2-4 y+1=0, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto (3,2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência definida por , no sentido anti-horário, começando do ponto e fazendo meia volta. Vamos precisar usar geometria analítica para reescrever a equação da circunferência em forma padrão e depois trigonometria para definir as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência na forma padrão x^2 - 2x + y^2 - 4y + 1 = 0 , onde x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 é o centro e y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4 é o raio.
A equação dada é:
(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 + 1 = 0
Vamos completar o quadrado para (x - 1)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0 e (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4 .
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 3

Agora que temos a forma padrão da circunferência, podemos usar as equa��ões paramétricas para descrevê-la. As equações padrão são:
x = h + r cdot cos(theta)
y = k + r cdot sin(theta)
onde x = 1 + 2 cdot cos(theta) é o ângulo parametrizado.
No nosso caso, y = 2 + 2 cdot sin(theta) , e , então:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar o parâmetro x = 3 = 1 + 2 cdot cos(theta) para que a partícula comece no ponto 3 - 1 = 2 cdot cos(theta) . Vamos encontrar 2 = 2 cdot cos(theta) correspondente a esse ponto.
No ponto inicial cos(theta) = 1 implies theta = 0 :
Então, corresponde ao ponto inicial .

Passo 5

A partícula faz meia volta no sentido anti-horário, ou seja, percorre radianos (180 graus). Portanto, o parâmetro vai de a .
Então, para representar o movimento, podemos deixar variando de a .

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(theta) = 1 + 2 cdot cos(theta)
y(theta) = 2 + 2 cdot sin(theta)
onde .

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