Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar as equações paramétricas da trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência definida por , no sentido anti-horário, começando do ponto e fazendo meia volta. Vamos precisar usar geometria analítica para reescrever a equação da circunferência em forma padrão e depois trigonometria para definir as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da circunferência na forma padrão , onde é o centro e é o raio.
A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para e .
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Então, o centro da circunferência é e o raio é .

Passo 3

Agora que temos a forma padrão da circunferência, podemos usar as equa��ões paramétricas para descrevê-la. As equações padrão são:
onde é o ângulo parametrizado.
No nosso caso, , e , então:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar o parâmetro para que a partícula comece no ponto . Vamos encontrar correspondente a esse ponto.
No ponto inicial :
Então, corresponde ao ponto inicial .

Passo 5

A partícula faz meia volta no sentido anti-horário, ou seja, percorre radianos (180 graus). Portanto, o parâmetro vai de a .
Então, para representar o movimento, podemos deixar variando de a .

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde .

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Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta partir do ponto ;
O baricentro de um tetraedro de vértices e é o único ponto tal que ), onde é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que independe da escolha do ponto ;
(b) Mostre que ;
© Se é o baricentro da face , use o problema . item (f) para mostrar que . Escreva relações análogas para e .
Sejam e vértices de um paralelogramo, cujas diagonais são concorrentes em . Encontre os outros dois vértices.
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
do ponto ao ponto .