Sejam A, B, C e D os vértices de um paralelogramo. Mostre que se M e N são os pontos médios de [A, B] e [C, D] respectivamente, então o quadrilátero square A N C M é um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um paralelogramo com os vértices A, B, C e D. Queremos mostrar que, tomando M e N como os pontos médios dos lados [A, B] e [C, D], o quadrilátero formado por A, N, C e M também é um paralelogramo. Para isso, vamos usar as propriedades dos paralelogramos e o conceito de pontos médios.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Então, temos que AB paral<=l DC e AD paral<=l BC, e também que AB = DC e AD = BC.

Passo 3

Como M é o ponto médio de [A, B], isso significa que AM = MB. Da mesma forma, N é o ponto médio de [C, D], então CN = ND.

Passo 4

Agora, vamos conectar os pontos A a N e C a M para formar o quadrilátero A N C M. Queremos mostrar que os lados opostos desse quadrilátero são paralelos.

Passo 5

Observamos que A M é metade de AB, já que M é o ponto médio. Como AB paral<=l DC, então AM paral<=l CN porque ambos são segmentos que ligam pontos médios de lados paralelos.

Passo 6

Da mesma forma, CN é metade de CD e AM é metade de AB. Como AB paral<=l CD, então AM paral<=l CN e AN paral<=l CM.

Passo 7

Como os lados opostos de A N C M são paralelos, isso atende à definição de um paralelogramo. Portanto, o quadrilátero A N C M é um paralelogramo.

Resposta

O quadrilátero A N C M é um paralelogramo porque seus lados opostos são paralelos, conforme demonstrado usando os pontos médios e as propriedades dos paralelogramos.

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