Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move numa circunferência com a equação . Ela começa no ponto e dá meia volta no sentido anti-horário. Vamos precisar usar trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a circunferência dada pela equação . Isso descreve um círculo com centro na origem e raio , porque é .
Passo 3
Em movimentos circulares, a gente geralmente usa um parâmetro, geralmente denotado por , que representa o ângulo em radianos a partir do eixo . As equações paramétricas padrão para um círculo com raio são:
No nosso caso, , então teríamos:
Passo 4
Mas pera aí! A questão diz que o movimento começa no ponto , que é no lado esquerdo do círculo. As equações padrão começam no ponto . Para ajustar isso, podemos adicionar (180 graus) ao ângulo , o que nos leva para o ponto . Então, as equações ajustadas ficam:
Isso faz com que, quando , e , conforme o enunciado.
Passo 5
Agora, como a partícula dá meia volta, queremos que o ângulo total seja radianos. Então, nosso parâmetro vai variar de a .
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são: