Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move numa circunferência com a equação . Ela começa no ponto e dá meia volta no sentido anti-horário. Vamos precisar usar trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a circunferência dada pela equação . Isso descreve um círculo com centro na origem e raio , porque é .

Passo 3

Em movimentos circulares, a gente geralmente usa um parâmetro, geralmente denotado por , que representa o ângulo em radianos a partir do eixo . As equações paramétricas padrão para um círculo com raio são:
No nosso caso, , então teríamos:

Passo 4

Mas pera aí! A questão diz que o movimento começa no ponto , que é no lado esquerdo do círculo. As equações padrão começam no ponto . Para ajustar isso, podemos adicionar (180 graus) ao ângulo , o que nos leva para o ponto . Então, as equações ajustadas ficam:
Isso faz com que, quando , e , conforme o enunciado.

Passo 5

Agora, como a partícula dá meia volta, queremos que o ângulo total seja radianos. Então, nosso parâmetro vai variar de a .

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde varia de a radianos.

Exercícios relacionados

(2,0 pts) Seja
(a) Verifique se é subespaço vetorial de .
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto ;
Sejam e os vértices de um paralelogramo. Mostre que se e são os pontos médios de e respectivamente, então o quadrilátero é um paralelogramo.
O baricentro de um tetraedro de vértices e é o único ponto tal que ), onde é um ponto arbitrário fixado.
(a) Verifique que independe da escolha do ponto ;
(b) Mostre que ;
© Se é o baricentro da face , use o problema . item (f) para mostrar que . Escreva relações análogas para e .