Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto (-3,0);

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move numa circunferência com a equação . Ela começa no ponto e dá meia volta no sentido anti-horário. Vamos precisar usar trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a circunferência dada pela equação . Isso descreve um círculo com centro na origem e raio , porque é .

Passo 3

Em movimentos circulares, a gente geralmente usa um parâmetro, geralmente denotado por x = R cos(t) , que representa o ângulo em radianos a partir do eixo y = R sin(t) . As equações paramétricas padrão para um círculo com raio x = 3 cos(t) são:
y = 3 sin(t)
No nosso caso, , então teríamos:

Passo 4

Mas pera aí! A questão diz que o movimento começa no ponto x = 3 cos(t + pi) , que é no lado esquerdo do círculo. As equações padrão começam no ponto y = 3 sin(t + pi) . Para ajustar isso, podemos adicionar (180 graus) ao ângulo , o que nos leva para o ponto . Então, as equações ajustadas ficam:
Isso faz com que, quando , e , conforme o enunciado.

Passo 5

Agora, como a partícula dá meia volta, queremos que o ângulo total seja radianos. Então, nosso parâmetro vai variar de a .

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(t) = 3 cos(t + pi)
y(t) = 3 sin(t + pi)
onde varia de a radianos.

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