Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência
, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
meia volta a partir do ponto
;
meia volta a partir do ponto
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se move numa circunferência com a equação
. Ela começa no ponto
e dá meia volta no sentido anti-horário. Vamos precisar usar trigonometria e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a circunferência dada pela equação
. Isso descreve um círculo com centro na origem
e raio
, porque
é
.
Passo 3
Em movimentos circulares, a gente geralmente usa um parâmetro, geralmente denotado por
, que representa o ângulo em radianos a partir do eixo
. As equações paramétricas padrão para um círculo com raio
são:
No nosso caso,
, então teríamos:
Passo 4
Mas pera aí! A questão diz que o movimento começa no ponto
, que é no lado esquerdo do círculo. As equações padrão começam no ponto
. Para ajustar isso, podemos adicionar
(180 graus) ao ângulo
, o que nos leva para o ponto
. Então, as equações ajustadas ficam:
Isso faz com que, quando
,
e
, conforme o enunciado.
Passo 5
Agora, como a partícula dá meia volta, queremos que o ângulo total seja
radianos. Então, nosso parâmetro
vai variar de
a
.
Resposta
As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
onde
varia de
a
radianos.