Dados A=(-2,4) e B=(3,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determinar os outros dois vértices.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá dois pontos, A=(-2,4) e B=(3,-1), que são vértices consecutivos de um quadrado. Nosso objetivo é encontrar os outros dois vértices desse quadrado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a distância entre pontos e o conceito de vetores para determinar as posições dos outros vértices.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como está alinhado o quadrado. Sabemos que dois pontos consecutivos formam um lado do quadrado. Vamos calcular a distância entre A e B para saber o tamanho do lado.
A distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Então, aplicando para A e B:
d = raiz(3 - (-2))^2 + (-1 - 4)^2 = raiz5^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2

Passo 3

Agora, vamos determinar a direção do lado AB. O vetor que vai de A a B é:
AB = (3 - (-2), -1 - 4) = (5, -5)
Para encontrar os próximos vértices do quadrado, precisamos rotacionar esse vetor 90 graus no sentido horário e no sentido anti-horário.

Passo 4

Rotacionar um vetor (x, y) 90 graus no sentido anti-horário resulta em (-y, x), e no sentido horário resulta em (y, -x). Vamos aplicar isso:
  • Rotação anti-horária:
v1 = (-(-5), 5) = (5, 5)
  • Rotação horária:
v2 = (-5, -5)

Passo 5

Agora, adicionamos esses vetores aos pontos A e B para encontrar os novos vértices.
  • A partir de A:
C = A + v1 = (-2 + 5, 4 + 5) = (3, 9)
  • A partir de B:
D = B + v2 = (3 - 5, -1 - 5) = (-2, -6)

Resposta

Os outros dois vértices do quadrado são C=(3,9) e D=(-2,-6).

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