Uma barra de aço de 10,0 cm de comprimento é soldada pela extremidade a uma barra de cobre de 20,0 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas nas suas partes laterais. A seção reta das duas barras é um quadrado de lado igual a 2,0 cm. A extremidade livre da barra de aço é mantida a 100^circ C e a extremidade livre da barra de cobre é mantida a 0^circ C. (a) Calcule a temperatura da junção entre as duas barras e (b) a taxa total da transferência de calor.

Passo 1

Ok, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos duas barras, uma de aço e outra de cobre, de diferentes comprimentos, conectadas em uma junção. A barra de aço tem 10,0 cm de comprimento e a de cobre, 20,0 cm. Ambas têm uma seção transversal quadrada de lado 2,0 cm. As extremidades livres são mantidas a temperaturas diferentes: a da barra de aço está a 100 °C e a da barra de cobre a 0 °C. Precisamos calcular:
a) A temperatura na junção entre as duas barras.
b) A taxa total de transferência de calor.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em regime estacionário, especificamente para materiais em série. Vamos precisar das condutividades térmicas do aço e do cobre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, em regime estacionário, a taxa de transferência de calor Q = k cdot A cdot De é constante ao longo das barras. Isso significa que a quantidade de calor que passa pela barra de aço é a mesma que passa pela barra de cobre.
A transferência de calor por condução é dada pela Lei de Fourier:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor;
  • é a condutividade térmica do material;
  • é a área da seção transversal;
  • é a diferença de temperatura;
  • é o comprimento do material.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a área da seção transversal A = lado^2 = (2,0, cm)^2 = 4,0, cm^2 . Ambas as barras têm uma seção quadrada com lado de 2,0 cm, então:
A = 4,0, cm^2 = 4,0 times 10^-4, m^2
Convertendo para metros quadrados (já que as condutividades térmicas geralmente estão em W/m·K):

Passo 4

Agora, vamos definir as temperaturas:
  • Temperatura da extremidade da barra de aço: De
  • Temperatura da extremidade da barra de cobre:
  • Temperatura na junção: (que precisamos encontrar)
Como as barras estão em série, a diferença de temperatura total é dividida entre elas:

Passo 5

Vamos considerar as resistências térmicas de cada barra. A resistência térmica R = Lk cdot A é dada por:
Rtotal = Raço + Rcobre = Laçokaço cdot A + Lcobrekcobre cdot A
Para as barras em série, a resistência total é a soma das resistências individuais:
ççç

Passo 6

A taxa de transferência de calor Q = De também pode ser expressa em termos da resistência total:
Q = TA - TJRaço = TJ - TCRcobre
Nosso objetivo agora é encontrar , a temperatura na junção. Para isso, podemos aplicar a mesma fórmula para cada barra individualmente:
ç

Passo 7

Igualando as duas expressões para TA - TJRaço = TJ - TCRcobre :
TA - TJLaçokaço cdot A = TJ - TCLcobrekcobre cdot A ç
Substituindo as resistências térmicas:
çç

Passo 8

Simplificando a equação:
(TA - TJ) cdot kaço cdot ALaço = (TJ - TC) cdot kcobre cdot ALcobre çç
Como a área (TA - TJ) cdot kaçoLaço = (TJ - TC) cdot kcobreLcobre é comum aos dois lados, podemos cancelá-la:
çç

Passo 9

Agora, vamos resolver para (TA - TJ) cdot kaço cdot Lcobre = (TJ - TC) cdot kcobre cdot Laço :
TA cdot kaço cdot Lcobre - TJ cdot kaço cdot Lcobre = TJ cdot kcobre cdot Laço - TC cdot kcobre cdot Laço çç
Distribuindo:
TJ cdot (kcobre cdot Laço + kaço cdot Lcobre) = TA cdot kaço cdot Lcobre + TC cdot kcobre cdot Laço çççç
Agrupando os termos com TJ = TA cdot kaço cdot Lcobre + TC cdot kcobre cdot Laçokcobre cdot Laço + kaço cdot Lcobre :
çççç
Finalmente, isolando :
çççç

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é dada por:
TJ = 100,°C cdot kaço cdot 20,0,cm + 0,°C cdot kcobre cdot 10,0,cmkcobre cdot 10,0,cm + kaço cdot 20,0,cm çç
Simplificando, fica:
TJ = 2000,kaço10,kcobre + 20,kaço çç
Para obter um valor numérico, seriam necessárias as condutividades térmicas do aço e do cobre.

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