Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio r=8,95 e-02 m está carregada com densidade linear dada por x=6,38 e-06 C / m distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de d=4,40 e-02 m acima de sua superfície?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca cilíndrica isolante, que é basicamente um cilindro muito longo sem deixar a eletricidade passar. Ela tem um raio de metros e está carregada com uma densidade linear de carga C/m, distribuída de forma uniforme na sua superfície. Queremos descobrir qual a leitura de um voltímetro quando conectamos entre a superfície desse cilindro e um ponto que está a uma distância metros acima da superfície. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico e potencial de um cilindro carregado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico se comporta ao redor de um cilindro carregado. Para um cilindro muito longo com carga distribuída uniformemente, o campo elétrico E = lambda2 pi epsilon0 r' fora do cilindro (a uma distância do eixo) é dado por:
onde é a permissividade do vácuo ( C²/(N·m²)).

Passo 3

Agora, para encontrar a diferença de potencial elétrico V = -integralr^r+d E , dr' entre a superfície do cilindro e o ponto a uma distância V = -integralr^r+d lambda2 pi epsilon0 r' , dr' acima, precisamos integrar o campo elétrico ao longo do caminho entre esses dois pontos. A diferença de potencial é dada por:
Substituindo a expressão para :

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de V = -lambda2 pi epsilon0 ln( r + dr ) em relação a é o logaritmo natural. Portanto:
Como estamos calculando a diferença de potencial a partir da superfície para um ponto acima, podemos considerar o valor absoluto, já que a direção do campo define o sinal.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício:
lambda = 6,38 times 10^-6 , C/m
r = 8,95 times 10^-2 , m
d = 4,40 times 10^-2 , m
epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/(N·m^2)
Substituindo na fórmula:
V = 6,38 times 10^-62 pi times 8,85 times 10^-12 ln( 8,95 times 10^-2 + 4,40 times 10^-28,95 times 10^-2 )

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular 2 pi times 8,85 times 10^-12 approx 5,56 times 10^-11 , C^2/(N·m^2) :
8,95 times 10^-2 + 4,40 times 10^-28,95 times 10^-2 = 13,35 times 10^-28,95 times 10^-2 approx 1,492
  1. Calcular a razão dentro do logaritmo:
ln(1,492) approx 0,400
  1. Calcular o logaritmo natural:
V = 6,38 times 10^-65,56 times 10^-11 times 0,400 approx 6,38 times 10^-65,56 times 10^-11 times 0,400 approx 4,60 times 10^4 times 0,400 approx 1,84 times 10^4 , V
  1. Agora, multiplicar os valores:

Resposta

A leitura do voltímetro será aproximadamente volts.

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