Uma casca cilíndrica isolante muito longa e de raio
está carregada com densidade linear dada por
distribuída uniformemente sobre sua superfície. Qual seria a leitura de um voltímetro ao liga-lo entre a superfície do cilindro e um ponto a uma distância de
m acima de sua superfície?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma casca cilíndrica isolante, que é basicamente um cilindro muito longo sem deixar a eletricidade passar. Ela tem um raio de
metros e está carregada com uma densidade linear de carga
C/m, distribuída de forma uniforme na sua superfície. Queremos descobrir qual a leitura de um voltímetro quando conectamos entre a superfície desse cilindro e um ponto que está a uma distância
metros acima da superfície. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre o campo elétrico e potencial de um cilindro carregado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o campo elétrico se comporta ao redor de um cilindro carregado. Para um cilindro muito longo com carga distribuída uniformemente, o campo elétrico
fora do cilindro (a uma distância
do eixo) é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo (
C²/(N·m²)).
Passo 3
Agora, para encontrar a diferença de potencial elétrico
entre a superfície do cilindro e o ponto a uma distância
acima, precisamos integrar o campo elétrico ao longo do caminho entre esses dois pontos. A diferença de potencial é dada por:
Substituindo a expressão para
:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural. Portanto:
Como estamos calculando a diferença de potencial a partir da superfície para um ponto acima, podemos considerar o valor absoluto, já que a direção do campo define o sinal.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no exercício:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular a razão dentro do logaritmo:
- Calcular o logaritmo natural:
- Agora, multiplicar os valores:
Resposta
A leitura do voltímetro será aproximadamente
volts.