Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100^circ C, o diâmetro aumenta de 0,18 %. Com precisão de dois algarismos significativos, determine o aumento percentual (a) da área, (b) da espessura e © do volume. (d) Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda de cobre que, quando a temperatura aumenta, aumenta de tamanho. O problema diz que, com um aumento de temperatura, o diâmetro da moeda cresce 0,18%. Vamos usar conceitos de dilatação térmica para descobrir:
a) Quanto a área da moeda aumenta em porcentagem.
b) Quanto a espessura aumenta em porcentagem.
c) Quanto o volume aumenta em porcentagem.
d) Qual é o coeficiente de dilatação linear da moeda.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica linear afeta dimensões como diâmetro, área, espessura e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a dilatação linear. Quando a temperatura de um material aumenta, suas dimensões lineares (como comprimento ou diâmetro) também aumentam. A variação percentual do comprimento é dada por:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento.
  • é o comprimento original.
  • é o coeficiente de dilatação linear.
  • é a variação de temperatura.
No nosso caso, sabemos que a variação percentual do diâmetro é 0,18%, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o aumento da área. A área de um círculo é dada por De, onde De é o raio. Se o diâmetro aumenta, o raio também aumenta na mesma proporção.
Quando uma dimensão linear aumenta em uma certa porcentagem, a área aumenta aproximadamente o dobro dessa porcentagem. Matemáticamente:
Então, substituindo:

Passo 4

Para a espessura, assumimos que ela também sofre dilatação linear semelhante ao diâmetro. Portanto, o aumento percentual na espessura será igual ao aumento percentual no diâmetro:
De

Passo 5

Agora, vamos calcular o aumento do volume. O volume de um cilindro (como uma moeda) é dado por De, onde é a espessura. Se a área aumenta 0,36% e a espessura 0,18%, o aumento percentual do volume é a soma desses aumentos:

Passo 6

Por último, vamos encontrar o coeficiente de dilatação linear De. Sabemos que:
alpha = De
No entanto, não nos foi dada a variação de temperatura . Supondo que a variação de temperatura seja , reorganizamos a fórmula para encontrar :
Sem o valor de , não podemos calcular um valor numérico para . Se for fornecido, basta substituir na fórmula para encontrar o coeficiente de dilatação linear.

Resposta

a) A área aumenta aproximadamente 0,36%.
b) A espessura aumenta 0,18%.
c) O volume aumenta cerca de 0,54%.
d) O coeficiente de dilatação linear é , dependendo da variação de temperatura .

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