Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de
, o diâmetro aumenta de
. Com precisão de dois algarismos significativos, determine o aumento percentual (a) da área, (b) da espessura e © do volume. (d) Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma moeda de cobre que, quando a temperatura aumenta, aumenta de tamanho. O problema diz que, com um aumento de temperatura, o diâmetro da moeda cresce 0,18%. Vamos usar conceitos de dilatação térmica para descobrir:
a) Quanto a área da moeda aumenta em porcentagem.
b) Quanto a espessura aumenta em porcentagem.
c) Quanto o volume aumenta em porcentagem.
d) Qual é o coeficiente de dilatação linear da moeda.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica linear afeta dimensões como diâmetro, área, espessura e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a dilatação linear. Quando a temperatura de um material aumenta, suas dimensões lineares (como comprimento ou diâmetro) também aumentam. A variação percentual do comprimento é dada por:
Onde:
-
é a variação no comprimento. -
é o comprimento original. -
é o coeficiente de dilatação linear. -
é a variação de temperatura.
No nosso caso, sabemos que a variação percentual do diâmetro é 0,18%, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o aumento da área. A área de um círculo é dada por
, onde
é o raio. Se o diâmetro aumenta, o raio também aumenta na mesma proporção.
Quando uma dimensão linear aumenta em uma certa porcentagem, a área aumenta aproximadamente o dobro dessa porcentagem. Matemáticamente:
Então, substituindo:
Passo 4
Para a espessura, assumimos que ela também sofre dilatação linear semelhante ao diâmetro. Portanto, o aumento percentual na espessura será igual ao aumento percentual no diâmetro:
Passo 5
Agora, vamos calcular o aumento do volume. O volume de um cilindro (como uma moeda) é dado por
, onde
é a espessura. Se a área aumenta 0,36% e a espessura 0,18%, o aumento percentual do volume é a soma desses aumentos:
Passo 6
Por último, vamos encontrar o coeficiente de dilatação linear
. Sabemos que:
No entanto, não nos foi dada a variação de temperatura
. Supondo que a variação de temperatura seja
, reorganizamos a fórmula para encontrar
:
Sem o valor de
, não podemos calcular um valor numérico para
. Se
for fornecido, basta substituir na fórmula para encontrar o coeficiente de dilatação linear.
Resposta
a) A área aumenta aproximadamente 0,36%.
b) A espessura aumenta 0,18%.
c) O volume aumenta cerca de 0,54%.
d) O coeficiente de dilatação linear
é
, dependendo da variação de temperatura
.