Uma barra de aço e uma barra de cobre são ambas inicialmente a uma temperatura de 20,0^circ C. A 100,0^circ C, a barra de aço tem um comprimento de 2,540 cm e a barra de cobre tem um comprimento de 2,545 cm. a) Qual era o comprimento original de cada barra a 20,0^circ C?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas barras, uma de aço e outra de cobre, que estavam ambas a 20,0 °C. Quando a temperatura sobe para 100,0 °C, a barra de aço mede 2,540 cm e a de cobre mede 2,545 cm. O que precisamos descobrir é: qual era o comprimento original de cada barra quando estavam a 20,0 °C.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de expansão térmica. A expansão térmica descreve como os materiais aumentam de tamanho quando aquecidos. A fórmula que vamos usar é:
L = L0 (1 + alpha De
Onde:
  • $ L $ é o comprimento final da barra após o aquecimento.
  • $ L_0 $ é o comprimento inicial da barra antes do aquecimento.
  • $ \alpha $ é o coeficiente de expansão linear do material.
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Vamos precisar dos coeficientes de expansão linear para o aço e para o cobre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • Temperatura inicial ($ T_0 $): 20,0 °C
  • Temperatura final ($ T $): 100,0 °C
  • Variação de temperatura ($ \Delta T $): $ 100,0 - 20,0 = 80,0 $ °C
Os comprimentos finais são:
  • Aço: $ L_{aço} = 2,540 $ cm
  • Cobre: $ L_{cobre} = 2,545 $ cm
Agora, precisamos dos coeficientes de expansão linear. Geralmente, eles são:
  • Aço: $ \alpha_{aço} \approx 12 \times 10^{-6} , °C^{-1} $
  • Cobre: $ \alpha_{cobre} \approx 16,5 \times 10^{-6} , °C^{-1} $

Passo 3

Vamos começar resolvendo para a barra de aço. Usando a fórmula da expansão térmica:
Laço = L0,aço (1 + alphaaço Deççç
Queremos encontrar $ L_{0,aço} $, então rearranjamos a fórmula:
L0,aço ççç
Substituindo os valores:
L0,aço = Laço1 + alphaaço Deç
Calculando o denominador:
L0,aço = 2,5401 + (12 times 10^-6) times 80,0
Então:
1 + (12 times 10^-6) times 80 = 1 + 0,00096 = 1,00096 ç

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para a barra de cobre:
Lcobre = L0,cobre (1 + alphacobre De
Rearranjando para encontrar $ L_{0,cobre} $:
L0,cobre
Substituindo os valores:
L0,cobre = Lcobre1 + alphacobre De
Calculando o denominador:
L0,cobre = 2,5451 + (16,5 times 10^-6) times 80,0
Então:
1 + (16,5 times 10^-6) times 80 = 1 + 0,00132 = 1,00132

Resposta

O comprimento original das barras a 20,0 °C era aproximadamente 2,538 cm para a barra de aço e 2,540 cm para a barra de cobre.

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