Um eixo de aço vazado deve transmitir 4200 N -m de torque e deve ser dimensionado de modo que a tensão de torção não ultrapasse 120 MPa .
(A) Se o diâmetro interno for três quartos do diâmetro externo, que tamanho de eixo deve ser usado? Use tamanhos preferenciais.
(B) Qual a tensão no interior do eixo quando for aplicado torque pleno?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um eixo de aço vazado que precisa transmitir um torque de 4200 N-m sem que a tensão de torção ultrapasse 120 MPa. Isso envolve a matéria de mecânica dos materiais, especificamente o dimensionamento de eixos submetidos a torção. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam torque, momento de inércia polar e tensão de torção em eixos circulares vazados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a tensão de torção ( tau = T cdot rJ ) com o torque ( J = pi32 (De^4 - Di^4) ) e o momento polar de inércia ( ):
Onde:
  • é o raio externo do eixo.
  • para um eixo circular vazado é dado por:

Passo 3

Como o diâmetro interno ( Di = 34 De ) é três quartos do diâmetro externo ( J = pi32 (De^4 - (34De)^4) = pi32 (De^4 - 81256De^4) = pi32 (175256De^4) = 175pi De^48192 ), podemos escrever:
Vamos substituir na fórmula do momento polar de inércia:

Passo 4

Agora, substituímos 120 times 10^6 = 4200 times r175pi De^48192 na fórmula da tensão de torção e resolvemos para 120 times 10^6 = 4200 times De2175pi De^48192 = 4200 times De2 times 8192175pi De^4 = 4200 times 4096175pi De^3 :
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, isolamos De^3 = 4200 times 4096175pi times 120 times 10^6 :
De^3 = 4200 times 4096175 times 3.1416 times 120 times 10^6 approx 1720320065973792 approx 0.26 , m^3
Calculando os valores:

Passo 6

Agora, encontramos De = raiz[3]0.26 approx 0.64 , m :
De approx 64 , mm
Convertendo para milímetros:

Passo 7

Agora, para a parte (B), queremos saber qual é a tensão de torção no interior do eixo quando o torque máximo é aplicado. Usamos a mesma fórmula da tensão de torção:
tau = T cdot rJ

Passo 8

Já temos , , então . O momento polar de inércia já calculado é .

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
tau = 4200 times 0.0320.26 approx 134.40.26 approx 516 , MPa

Resposta

(B) A tensão de torção no interior do eixo quando o torque pleno é aplicado é de aproximadamente 516 MPa.

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