Uma barra de aço tem seção transversal de 9,5 times 19 mm, e a tensão de cisalhamento na barra não pode exceder 100 MPa , quando o ângulo de torção é de 15^circ. Determinar o menor comprimento admissível para a barra, sendo G=79,3 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma barra de aço com uma seção transversal de . A tensão de cisalhamento nessa barra não pode passar de 100 MPa quando o ângulo de torção é de . Além disso, nos fornecem o módulo de cisalhamento . A matéria envolvida aqui é torsão em resistência dos materiais. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas que relacionam o torque, a tensão de cisalhamento, o ângulo de torção e o momento polar de inércia da seção.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos.
  • Seção transversal: theta = 15^circ times pi180 = pi12 , rad approx 0,2618 , rad e
  • Tensão de cisalhamento máxima:
  • Módulo de cisalhamento:
  • Ângulo de torção: . Precisamos converter para radianos porque as fórmulas de torsão usam radianos:

Passo 3

Vamos determinar o momento polar de inércia J = b h^33 da seção retangular. Para uma seção retangular de largura J = 0,0095 times (0,019)^33 = 0,0095 times 6,859 times 10^-63 approx 6,516 times 10^-83 approx 2,172 times 10^-8 , m^4 e altura , uma aproximação do momento polar de inércia é:
Onde:
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos usar a relação entre o ângulo de torção, o torque theta = T LG J , o comprimento L = theta G JT , o módulo de cisalhamento taumax = T cJ e o momento polar de inércia c = raiz(b2)^2 + (h2)^2 = raiz(0,00952)^2 + (0,0192)^2 approx raiz(0,00475)^2 + (0,0095)^2 approx raiz2,256 times 10^-5 + 9,025 times 10^-5 approx raiz1,127 times 10^-4 approx 0,0106 , m :
T = taumax Jc = 100 times 10^6 times 2,172 times 10^-80,0106 approx 2,172 times 10^-20,0106 approx 2,047 , Nm
Queremos encontrar o menor comprimento admissível , então precisamos isolar :
Mas ainda não sabemos o torque . Vamos encontrar usando a relação entre a tensão de cisalhamento máxima e o torque:
Onde é a distância do centro à borda mais distante. Para uma seção retangular:
Isolando :

Passo 5

Agora que temos o torque L = theta G JT = 0,2618 times 79,3 times 10^9 times 2,172 times 10^-82,047 , podemos calcular o comprimento 0,2618 times 79,3 times 10^9 = 2,077 times 10^10 :
2,077 times 10^10 times 2,172 times 10^-8 = 450,9
Calculando passo a passo:
L = 450,92,047 approx 220,2 , m

Resposta

O menor comprimento admissível para a barra é aproximadamente 220,2 metros.

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